Когда нужно применять метод интервалов при решении неравенств?

Метод интервалов можно применять в том случае, когда неравенство имеет вид f(x) V 0, где вместо V может стоять любой знак неравенства (> , <, ⩾, ⩽), а функция f(x) имеет вид f(x) = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) - произведение линейных двучленов: P(x) = (x - a1)(x - a2)...(x - an), Q(x) = (x - b1)(x - b2)...(x - bk).

Обычно предлагаются к решению неравенства, где в левой и в правой частях стоит сумма рациональных дробей. Такое неравенство можно привести к виду, указанному выше. Для этого нужно перенести все слагаемые в левую часть, оставив справа 0, далее выполнить сложение рациональных дробей в левой части так, чтобы получилась одна рациональная дробь, потом в этой дроби разложить числитель и знаменатель на множители.
Если одна из скобок будет представлять собой квадратный трёхчлен, не имеющий корней, то на него можно просто разделить (или умножить) обе части неравенства (оставив или изменив знак неравенства в зависимости от знака квадратного трёхчлена).

В результате в любом случае получится неравенство, к которому можно уже применить метод интервалов.

Метод интервалов можно применять также и тогда, когда одна из скобок (или несколько) представляют собой не линейную функцию, а представляет собой такую функцию, которая обращается в ноль при каком-то одном значении аргумента, и сохраняет знак постоянным как до этого значения, так и после него, свой для каждого интервала. Либо же когда неравенство путём равносильных преобразований можно свести к такому виду.

Метод интервалов можно применять всегда!! Может быть, не всегда это оправдано, но применять можно ВСЕГДА!! И плюнь тому в глаза, кто скажет, что это не так!

В тех случаях, когда нужный промежуток (интервал) не очевиден из имеющегося задания (или получившегося решения)