Докажите неравенство одним из методов (от противного, по определению, синтетический)

Интерес представляют два 10-х вагона (зачеркнуто) неравенства, первые два - для 7-го класса. Для доказательства потребуется одно интересное неравенство, называемое "перестановочным" или неравенством одномонотонных последовательностей. Суть его такова: пусть имеются два упорядоченных набора чисел x(1)>x(2)>....x(n) и y(1)>y(2)...>y(n) Тогда среди всевозможных сумм попарных произведений элементов этих наборов (ну или скалярных произведений) максимальное значение имеет сумма x(1)y(1)+x(2)y(2)+...x(n)y(n), а минимальное сумма x(1)y(n)+x(2)y(n-1)+...x(n)y(1) Доказательство очень простое, проводится в два этапа:
1) Докажем для набора длиной n= 2, т. е x(1)y(1)+x(2)y(2)>x(1)y(2)+x(2)y(1)
(на самом деле больше либо равно) Действительно, x(1)-x(2)>0 и (у (1)>y(2). отсюда (x(1)-x(2))y(1)>x(1)-x(2)y(2) или x(1)y(1)+x(2)y(2)>x(1)y(2)+x(2)y(1)
2) Для наборов произвольной длины используем следующий алгоритм:
2.1) Рассмотрим произвольную сумму попарных произведений элементов двух наборов Первым шагом находим слагаемые, содержащие x(1) и y(1), в общем случае это два разных слагаемых вида x(1)y(i) и x(j)y(1) Согласно доказанному в пункте 1) x(1)y(i) + x(j)y(1)< x(1)y(1)+x(j)y(i), таким образом, в результате этой инверсии исходная сумма не уменьшается.
2.2) Проделав не более n таких инверсий, мы придем к сумме вида x(1)y(1)+x(2)y(2)+...x(n)y(n), которая по построению будет больше либо равна произвольно выбранной подобной сумме, что и означает максимум. Минимум доказывается аналогично. Кроме того, все вышесказанное можно обобщить на произвольное конечное число упорядоченных наборов чисел (доказательство можете посмотреть например в Википедии в разделе "Перестановочное неравенство). В частности, если все наборы идентичны, наибольшее значение среди всех перестановок имеет сумма квадратов.
Поэтому последнее (№10.2) ваше неравенство есть просто частный случай перестановочного неравенства для 5-ти одинаковых наборов a>b>c (не ограничивая общности можно считать так) и его доказательством будет просто ссылка на перестановочное неравенство.
А случай № 10.1 я изложил на скрине ниже. Там есть отсылы к перестановочному неравенству и пару раз используется неравенство о средних. Если есть вопросы - задавайте.