Как доказать, что сложением отрицательных чисел нельзя получить положительное?

Основные свойства действий с действительными числами (или с целыми, или с рациональными –они одинаковы для всех этих типов чисел).
Для доказательства нам нужно показать, что разность левой и правой части равенства ( − a ) + ( − b ) = − ( a + b ) (−a)+(−b)=−(a+b) будет равна 0 0. Вычесть одно число из другого – это то же самое, что и прибавить к нему такое же противоположное число. Следовательно, ( − a ) + ( − b ) − ( − ( a + b ) ) = ( − a ) + ( − b ) + ( a + b ) (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). Вспомним, что числовые выражения со сложением обладают двумя основными свойствами – сочетательным и переместительным. Тогда мы можем сделать вывод, что ( − a ) + ( − b ) + ( a + b ) = ( − a + a ) + ( − b + b ) (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Поскольку, сложив противоположные числа, мы всегда получаем 0 0, то ( − a + a ) + ( − b + b ) = 0 + 0 , а 0 + 0 = 0 (−a+a)+(−b+b)=0+0, а 0+0=0.
Равенство можно считать доказанным, значит, и правило сложения отрицательных чисел мы тоже доказали.

Делаем вывод, что вывод, что сложение отрицательных чисел аналогично сложению положительных, только в итоге у нас обязательно должно получиться отрицательное число, ведь перед суммой модулей всегда надо ставить знак минус.

Каких чисел? Целых? Рациональных? Действительных?

В случае школьного определения кольца целых твое утверждение является частью опеределения целого числа.
В случае школьного определения рациональных чисел через поле частных твое утверждение легко сводится к аналогичному для целых (через приведение дробей к общему знаменателю).
А какое-либо достаточно строгое определение действительного чтсла в школе вообще не дают.