У многочлена P(x) все коэффициенты — целые неотрицательные числа. Известно, что P(1)=4 и P(5)=152. Чему равно P(12)?

P(x) = Σ(k=0;n)aₖxᵏ, aₖ∈ℕ
P(1) = Σ(k=0;n)aₖ = 4 - n не больше трёх
Разбор случаев:
1) P(x) = a₀ - не проходит так как P(1)≠P(5)
2) P(x) = a₀ + a₁x
P(1)=a₀+a₁=4
P(5)=a₀+5a₁=152
a₀=-33, a₁=37 - не проходит из за отрицательного свободного члена
3) P(x) = a₀ + a₁x + a₂x²
P(1)=a₀+a₁+a₂=4
P(5)=a₀+5a₁+25a₂=152
Здесь для коэффициентов полинома возможны лишь наборы (1,1,2), (1,2,1) и (2,1,1), на которых равенства P(5)=152 нет.
4) P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³
P(1)=a₀+a₁x+a₂+a₃=4
Здесь для коэффициентов полинома возможен лишь набор (1,1,1,1), но тогда P(5)=156≠152.
В общем строго говоря нет такого многочлена P(x) все коэффициенты которого - натуральные числа, а P(1)=4 и P(5)=152. Если какие-нибудь из коэффициентов могут быть пропущены (то есть по сути являются нулевыми, а вовсе даже не положительными целыми !), тогда такой многочлен единственный (это устанавливается чисто комбинаторно) и указан в первом ответе, а P(12)=1874.

Р(х) = х^3 + х^2 + 2

Замечу только, что максимальную степень многочлена n определим из неравенства P(5)=5**n<=152, потому что все многочлены с ненулевыми коэффициентами при бОльшей степени будут иметь P(5) > 152. Ясно что n=3 (Р(5)=125) ещё подходит, а n>=4 уже не подходят, поскольку P(5) >152. Значит рассматривать можно только многочлен вида ax**3 +bx**2 + cx +d. Более того, рассматривать можно только два случая: а=0 и a=1, ибо при a>=2 снова P(5) уже будет превышать 152.
....