Алгебра 10 класс задача с производной

Ответ

Площадь квадрата на стороне треугольника равна длине этой стороны, возведенной в квадрат (во вторую степень).

Пусть катеты треугольника равны a и b. Гипотенуза равна c.
При этом действует теорема Пифагора:
a^2 + b^2 = c^2

Сумма площадей квадратов: S = a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2

S = 2(a^2 + b^2) -> min

Площадь треугольника равна половине произведения его катетов:
Sтр = ab/2 = 8 см^2

Отсюда ab = 16; b = 16 / a.

S = 2(a^2 + b^2) = 2(a^2 + (16/a)^2) = 2(a^2 + 256 / a^2) = 2a^2 + 512 / a^2

Итак, сумму площадей квадратов мы выразили как функцию от одного катета:
S(a) = 2a^2 + 512 / a^2

Чтобы найти минимальное значение площади, найдем производную и определим, в каких точках она равна нулю.
S'(a) = 2 * 2a + (-2) * 512 / a^3 = 4a - (1024 / a^3)

Найдем нули производной: S'(a) = 0
4a - (1024 / a^3) = 0
4a = 1024 / a^3
4a^4 = 1024
a^4 = 256
a = +-4

Катет не может быть отрицательным, поэтому остается a = 4.

a = 4 - это точка экстремума. Но минимума или максимума?
Чтобы это узнать, проверим производную слева (a = 3) и справа (a = 5).

S'(3) = 4 * 3 - (1024 / 3^3) = 12 - 1024 / 27 = (324 - 1024) / 27 = -700 / 27 < 0
S'(5) = 4 * 5 - (1024 / 5^3) = 20 - 1024 / 125 = (2500 - 1024) / 125 = 1476 / 125 > 0

Слева от a = 4 функция убывает, а справа - возрастает.
Следовательно, a = 4 - это точка минимума.

Сумма площадей квадратов для такого катета:
S(4) = 2 * 4^2 + 512 / 4^2 = 2 * 16 + 512 / 16 = 32 + 32 = 64

должны стремиться к ->0, а площадь может оставаться той же самой внутри пространственного кармана в пятом измерении