Доказать, что 16^3 + 31^4 -2 делится на 15

простецкая арифметика остатков)

16^3 + 31^4 - 2 будет кратным 15, если будет сравнимо с нулем по модулю 15.

16 ≡ 1 (mod 15) => 16^3 ≡ 1 (mod 15) [1]
31 ≡ 1 (mod 15) => 31^4 ≡ 1 (mod 15) [2]
-2 ≡ -2 (mod 15) [3]

[1][2] => 16^3 + 31^4 ≡ 1 + 1 (mod 15) => 16^3 + 31^4 ≡ 2 (mod 15) [4]

[4][3] => 16^3 + 31^4 - 2 ≡ 2 - 2 (mod 15) => 16^3 + 31^4 - 2 ≡ 0 (mod 15)

Получилось, что наше выражение сравнимо с 0 по модулю 15, значит оно, действительно, кратно 15

(15+1)³ + (2*15+1)⁴ -2 = 15*(...) +1+1 - 2=15*(...)

16³ + 31⁴ - 2 = (15+1)³ + (2 ·15 +1)⁴ -2 = 15k +1 +15m +1 -2 = 15k +15m =15(k+m),

k,m - натуральные числа


Второй пример - аналогично

16*16*16+31*31*31*31-2=4096+923521-2=927615

Для того, чтобы доказать, что данное число делится на 15, его надо разделить на 15:

927615 / 15 =61841

36^3=46656
19^3=6859
46656 6859=53515
53515-16=53499
53499:17=3147
Делятся же!

Для того чтобы доказать, что выражение 16^3 + 31^4 -2 делится на 15, необходимо показать, что оно равно нулю при делении на 15.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

16^3 = 4096 = 15*272 + 6

31^4 = 923521 = 15*61568 + 1

Тогда

16^3 + 31^4 -2 = (15272 + 6) + (1561568 + 1) - 2 = 15*(272+61568) + 5

Мы видим, что полученное выражение является кратным 15, так как оно представимо в виде 15*m + 5, где m = 272+61568. Но остаток 5 не позволяет делить это выражение на 15 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что выражение 16^3 + 31^4 -2 делится на 15 с остатком 5.