По какой причине, если перенести вправо одну часть, а потом возвести в квадрат и, раскрыв скобки, решать обычное квадратичное уравнение, получатся неверные корни? Область допустимых значений учитывал.
p.s// Верным способом является вынесение за скобки и решение совокупности.
Кто сказал?
ОДЗ: x ≥ 5, (x – 5)(x + 2) ≥ 0.
√(x – 5) = √((x – 5)(x + 2));
x – 5 = (x – 5)(x + 2);
x – 5 = x^2 – 3x – 10;
–x^2 + 4x + 5 = 0;
x^2 – 4x – 5 = 0, откуда x_1 = –1, x_2 = 5.
–1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5.
намного проще домножить обе части уравнения на сумму корней, чтобы получить разность квадратов:
(sqrt(x-5) - sqrt((x-5)(x+2))) * (sqrt(x-5) + sqrt((x-5)(x+2))) = 0
(x-5) - (x-5)(x+2) = 0
(x-5) ( 1 - x - 2 ) = 0
да, одз надо учитывать )
V(x-5) - V[(x-5)(x+2)] = 0
V(x-5) * [1 - V(x+2)] = 0
V(x-5) = 0 ------> x1 = 5
1 - V(x+2) = 0
V(x+2) = 1
(x+2) = 1^2 ------> x2 = 1 - 2 = - 1
При переносе одного из слагаемых на другую сторону уравнения, вы должны учитывать, что корень может иметь два значения, и вы можете потерять одно из них. Кроме того, при раскрытии скобок в уравнении, вы можете получить дополнительные корни, которые не являются решениями исходного уравнения. В данном случае, верным способом будет вынесение за скобки и решение совокупности, как вы уже знаете.
Решим уравнение используя этот метод:
sqrt(x-5) - sqrt((x-5)(x+2)) = 0
sqrt(x-5) = sqrt((x-5)(x+2))
Возведем обе части уравнения в квадрат:
x - 5 = (x-5)(x+2)
x - 5 = x^2 - 3x - 10
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
x^2 - 4x + 5 = 0
Теперь мы можем решить это уравнение как обычное квадратное уравнение:
x1 = 1
x2 = 4
Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:
sqrt(1-5) - sqrt((1-5)(1+2)) = -2sqrt(6) ≠ 0
sqrt(4-5) - sqrt((4-5)(4+2)) = 0
Таким образом, единственным корнем является x=4.
По какой причине, если перенести вправо одну часть, а потом возвести в квадрат и, раскрыв скобки, решать обычное квадратичное уравнение, получатся неверные корни? Область допустимых значений учитывал.
