Математика. Производные. Координаты.

Для нахождения точки минимума функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2, необходимо найти координаты (x; y), где функция достигает наименьшего значения.

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x):
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0 для нахождения критических точек (точек экстремума):
3x^2 - 12x + 9 = 0

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта. Вычислим дискриминант:
D = (-12)^2 - 4 * 3 * 9 = 144 - 108 = 36

Шаг 3: Используя дискриминант, найдем корни уравнения:
x = (-(-12) ± √36) / (2 * 3)
x = (12 ± 6) / 6
x1 = (12 + 6) / 6 = 3
x2 = (12 - 6) / 6 = 1

Таким образом, получаем две критические точки: x1 = 3 и x2 = 1.

Шаг 4: Для определения, является ли каждая из этих точек минимумом или максимумом, необходимо проанализировать знак второй производной функции.

Вычислим вторую производную f''(x):
f''(x) = 6x - 12

Шаг 5: Подставим найденные критические точки во вторую производную:
f''(3) = 6 * 3 - 12 = 18 - 12 = 6
f''(1) = 6 * 1 - 12 = 6 - 12 = -6

Шаг 6: Анализируем знаки второй производной:

f''(3) > 0, значит, при x = 3 функция имеет минимум.
f''(1) < 0, значит, при x = 1 функция имеет максимум.
Таким образом, точка (3; y) является точкой минимума функции f(x).

Шаг 7: Для определения значения y в найденной точке, подставим значение x = 3 в исходную функцию:
f(3) = 3^3 - 6 * 3^2 + 9 * 3 - 2
= 27 - 54 + 27 - 2
= 0

Следовательно, координаты точки минимума функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 равны (3; 0).