Производная большого порядка

2019-ая производная обозначим как g(x). Не надо быть гением чтобы понять что g(x)=a(x)/(x²-1)²⁰²⁰ g(0)=a(0)/(0-1)²⁰²⁰=a(0),
где a(x) числитель функции g(x).
a(0)=C.
Значит g(0)=C
а теперь вернёмся к функции f(x)
f'(x)=(-5x²-2x-5)/(x²-1)², здесь C=-5, потому что f'(0)=-5.
f"(x)=2(5x³+3x²+15x+1)/(x²-1)³ здесь C=-2 а не 2, сыграет роль что (x²-1)³ при х=0 равно -1.
f"'(x)=6(-5x⁴-4x³-30x²-4x-5)/(x²-1)⁴, C=-30
f""(x)=24(5x⁵+5x⁴+50x³+10x²+25x+1)/(x²-1)⁵, C=-24.
И тут мы замечаем некоторые последовательности.
Если производная функции f(x) имеет чётный порядок, то постоянная внутри скобки будет 1. Если нечётный порядок, то постоянная внутри скобки всегда будет (-5).
C всегда будет отрицательным.
Постоянная за скобками n-ого порядка равна n!.
Например d²⁰/dx²⁰=20!(...+1)/(x²-1)²¹.
Вернёмся к g(x). Так как g(x) 2019-ая производная и 2019 нечётное число, то g(x)=2019!(...-5)/(x²-1)/²⁰²⁰.
g(0)=C=2019!*(-5)=-(5*2019!)
Это число с 5799 цифрами
Если что-то непонятно, дайте мне знать. У меня ушло час чтобы решить эту задачу.

Можно так:
f(x)=(5x+1)/(x²-1)=3/(x-1)+2/(x+1)
Обозначим 1/(x-1)=g(x), 1/(x+1)=h(x), тогда f(x)=3*g(x)+2*h(x).
Найдем несколько первых производных и увидим закономерность:
1) для g(x)=1/(x-1): -1/(x-1)², 2/(x-1)³, -6/(x-1)⁴, 24/(x-1)⁵, ..
=> n-я производная функции g(x): g⁽ⁿ⁾(x)=(-1)ⁿ*n!/(x-1)ⁿ⁺¹;
2) аналогично n-я производная функции h(x): h⁽ⁿ⁾(x)=(-1)ⁿ*n!/(x+1)ⁿ⁺¹.

Тогда n-я производная данной функции:
f⁽ⁿ⁾(x)=3*(-1)ⁿ*n!/(x-1)ⁿ⁺¹ + 2*(-1)ⁿ*n!/(x+1)ⁿ⁺¹.

При n=2019, x=0 получим:
f⁽²⁰¹⁹⁾(0)= -3*2019! - 2*2019! = -5*2019!

Терпеть не могу выражения-крокодилы.... Давай лучше подумаем.

1) Искомая производная существует (т. к. функция - дробно-рациональная и в нуле определена)
2) Производная четной функции нечетна, производная нечетной функции четна. Если нечетная функция функция определена в нуле, то она там равна нулю.

Значит, ты можешь добавить к своей функции четную так, чтобы получилась удобная для дифференцирования 2019 раз функция - при этом ее 2019-я производная в нуле не изменится.
Например, 5(x - 1)/(x^2 - 1) = 5/(x + 1) дифференцируется 2019 раз просто отлично, это почти что функция вида x^n.

Впрочем, Таня сделала почти то же самое - разбила на 2 удобных слагаемых.