Найти производную сложной функции

Чтобы найти производную сложной функции, нужно использовать правило дифференцирования сложной функции, которое называется правилом цепной дифференциации или правилом вложенной функции.

Давай найдем производную функции y = sin(ln^3(2x + 1)) по переменной x.

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию u и внешнюю функцию v.
u = ln^3(2x + 1) (внутренняя функция)
v = sin(u) (внешняя функция)

Шаг 2: Найдем частную производную внешней функции v по внутренней переменной u.
dv/du = cos(u)

Шаг 3: Найдем производную внутренней функции u по переменной x, используя правило цепной дифференциации.
du/dx = (d/dx)(ln^3(2x + 1))

Теперь нам нужно найти производную ln^3(2x + 1) по переменной x. Для этого мы можем использовать правило степенной функции и правило дифференцирования натурального логарифма.

Правило степенной функции гласит:
d/dx (f(x))^n = n(f(x))^(n-1) * f'(x)

Правило дифференцирования натурального логарифма гласит:
d/dx ln(f(x)) = f'(x) / f(x)

Применяя эти правила, получим:
du/dx = 3(ln(2x + 1))^2 * d/dx (ln(2x + 1))

Шаг 4: Найдем производную (d/dx)(ln(2x + 1)).
Применим правило дифференцирования натурального логарифма:
d/dx (ln(2x + 1)) = 1 / (2x + 1) * (d/dx)(2x + 1)

Правило дифференцирования константы:
d/dx (c) = 0

Получим:
d/dx (ln(2x + 1)) = 1 / (2x + 1) * 2

Теперь можем выразить du/dx:
du/dx = 3(ln(2x + 1))^2 * 1 / (2x + 1) * 2

Шаг 5: Найдем производную функции y = sin(ln^3(2x + 1)) по переменной x, используя правило цепной дифференциации.
dy/dx = du/dx * dv/du

Подставляем найденные значения:
dy/dx = 3(ln(2x + 1))^2 * 1 / (2x + 1) * 2 * cos(ln^3(2x + 1))

Таким образом, производная функции y = sin(ln^3(2x + 1)) равна:
dy/dx = 3(ln(2x + 1))^2 * 1 / (2x + 1) * 2 * cos(ln^3(2x + 1))

не понятно:
y= sin ln^3 (2x+1)

y= sin (ln^3 * (2x+1))
y= sin (ln^3) * (2x+1)
или еще как-то?

y = sin (ln^3 (2x + 1))
Здесь 4 функции, вложенные друг в друга.
y(g) = sin (g); g(x) = ln^3 (2x + 1)
g(f) = f^3; f(x) = ln (2x + 1)
f(z) = ln (z)
z(x) = 2x + 1
Чтобы взять производную y(x), нужно производную каждой внешней функции умножить на производную внутренней функции.
y'(x) = y'(g) * g'(f) * f'(z) * z'(x)
y'(x) = cos (g) * 3f^2 * 1/z * 2 = cos (ln^3 (2x+1)) * 3ln^2 (2x+1) *
.* 1/(2x + 1) * 2 = 6cos (ln^3 (2x+1)) * ln^2 (2x+1) / (2x + 1)

2,5

пажпа
жпжпа