Исследование (анализ) функции. Верно ли я нашел максимум функции?

1) Максимума и минимума здесь нет: функция принимает значения от -∞ до +∞. И это почти очевидно без всяких производных. При x > 0 функция безконечно возрастает (это очевидно). А при х -> -∞ функция безконечно убывает (покажите это хотя бы какой-нибудь несложной оценкой, без производных).

2) Если во что бы то ни стало исследовать функцию с помощью производной (хотя и некрасиво решать задачу более трудным путём), то и здесь у вас есть ошибки. Производную вы нашли верно, но до конца не упростили, и это вас потом подвело. Ошибки здесь такие:

а) в производной, которую вы нашли, степени х лучше сократить, так чтобы остался только х в некоторой степени. Это не ошибка, но усложняет дело.

б) вы приравняли производную к 0 и затем домножили на х в некоторой степени. Когда домножаете, нужно дополнительно отметить, что х не должно равняться 0 (иначе домножение безполезно). Поэтому и в ответе только х = -8.

в) найдя нули производной, с чего вы решили, что функция сначала возрастает и т. д., а не наоборот? А может, это вообще не точка экстремума, а точка перегиба? Вот для этого и нужна вторая производная - чтобы узнать точно, как ведёт себя функция в этих критических точках.

Согласитесь теперь, что возиться с производной в этой именно задаче ни к чему. Ведь всё просто и так.