Магазин имеет право на отправку товара на экспертизу?

он не просто имеет право - он обязан это сделать.

см. п. 5 ст. 18 ЗоЗПП:

"Продавец (изготовитель) , уполномоченная организация или уполномоченный индивидуальный предприниматель, импортер обязаны принять товар ненадлежащего качества у потребителя и в случае необходимости провести проверку качества товара. Потребитель вправе участвовать в проверке качества товара.

В СЛУЧАЕ СПОРА О ПРИЧИНАХ ВОЗНИКНОВЕНИЯ НЕДОСТАТКОВ ТОВАРА продавец (изготовитель) , уполномоченная организация или уполномоченный индивидуальный предприниматель, импортер ОБЯЗАНЫ ПРОВЕСТИ ЭКСПЕРТИЗУ ТОВАРА ЗА СВОЙ СЧЕТ. Экспертиза товара проводится В СРОКИ, УСТАНОВЛЕННЫЕ СТАТЬЯМИ 20, 21 И 22 НАСТОЯЩЕГО Закона для удовлетворения соответствующих требований потребителя. ПОТРЕБИТЕЛЬ ВПРАВЕ ПРИСУТСТВОВАТЬ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ЭКСПЕРТИЗЫ ТОВАРА И В СЛУЧАЕ НЕСОГЛАСИЯ С ЕЕ РЕЗУЛЬТАТАМИ ОСПОРИТЬ ЗАКЛЮЧЕНИЕ ТАКОЙ ЭКСПЕРТИЗЫ В СУДЕБНОМ ПОРЯДКЕ.

Если в результате экспертизы товара установлено, что его недостатки возникли вследствие обстоятельств, за которые не отвечает продавец (изготовитель) , потребитель обязан возместить продавцу (изготовителю) , уполномоченной организации или уполномоченному индивидуальному предпринимателю, импортеру расходы на проведение экспертизы, а также связанные с ее проведением расходы на хранение и транспортировку товара. "

Таким образом причиной экспертизы товара должен быть спор о причинах недостатка между продавцом и потребителем - иначе это не экспертиза, а проверка качества.

Проверку качества потребитель оплачивать не обязан вне зависимости от ее результатов.

да

Имеет право ...на независимую експертизу

Да, магазин имеет такое право, только надо иметь твердые основания для проведения экспертизы: видимые недостатки, отсутствие документов, подтверждающих качество, несоответствие товара, заявленному в документах на него.

имеет, причем стоимость экспертизы оплачивает он же.

да
имеет он такое право