умерла мать а в свидетельстве о моем рождении допущена ошибка её имени как доказать родство

Вам надо доказывать родство в суде, в порядке особого производства. Со всеми собранными документами обратитесь к юристу или адвокату вашего региона.

В судебном порядке установить факт имеющий юридическое значение

Идите к адвокату он составит заявление в суд.

Наверно, запросить в архиве её паспорт, в котором Вы записаны, как её ребёнок.

Вам нужно обратиться в ЗАГС по месту жительства. С собой: паспорт, св-во о рождении свое, св-во о рождении, браках/разводах и о смерти матери.
Работники ЗАГС посмотрят имеющиеся документы (если не все из этого у вас есть - все равно идите в ЗАГС, там вам все подскажут) .
В общих чертах суть такова. исходной точкой всегда является запись о рождении человека. В ЗАГСе запросят копию актовой записи о рождении матери. И вот под каким именем она записана там, на такое имя ЗАГС сможет исправить по вашему заявлению все последующие актовые записи. Таким образом ваше родство с матерью будет прослеживаться по ЗАГСовским документам без всякого суда.
А если на протяжении жизни мать получала разные документы (св-ва о собственности, документы о приватизации и т. д. ) не на то имя, с каким она родилась - тогда уже нужно будет подавать исковое заявление в суд об установлении юридического факта принадлежности правоустанавливающих документов конкретному лицу - вашей матери.
И, пожалуйста, пока не сходите в ЗАГС - не надо обращаться ни к каким адвокатам и юристам. Потеряете деньги, составят вам глупейшее заявление, по которому суд все равно отправит вас решать вопрос в ЗАГС во внесудебном порядке.

Начинать нужно с ЗАГса, просить выдать новое св-во о рождении, где все будет указано правильно. Если в ЗАГсе откажут, то в суд.

так у матери то было ее свидетельство о рождении, может выправят в загсе