Могут ли обменять?

Так называемый Гарантийный талон, а тем более его обязательное наличие, вообще, не предусмотрено Законом РФ "о защите прав потребителей".
Если у Вас имеется кассовый и/или товарный чек на товар, а также иные документы производителя, содержащие его гарантийные обязательства, то Вы имеете законное право ст. 18 Закона) требовать от магазина замены товара с выявленным недостатком на такой же новый, или бесплатного ремонта или возврата товара с недостатком магазину с возвратом потребителю уплаченных за него денег.
Отказ магазина от письменно предъявленного требования (одного и конкретного ) только на основании отсутствия этого "гарантийного талона" неправомерен.
Но не факт, что МЕХАНИЧЕСКАЯ поломка будет признана гарантийным случаем (браком производителя) - скорее всего, для установления причины возникновения недостатка потребуется экспертиза, которую магазин и должен будет организовывать.
(Но это уже отдельная тема, кстати тоже определенная нормами той же ст. 18 Закона)
Удачи.

Пиши претензию в магазин и приложи копию чека и отправляй заказным письмом

Статья 19. Сроки предъявления потребителем требований в отношении недостатков товара

1. Потребитель вправе предъявить предусмотренные статьей 18 настоящего Закона требования к продавцу (изготовителю, уполномоченной организации или уполномоченному индивидуальному предпринимателю, импортеру) в отношении недостатков товара, если они обнаружены в течение гарантийного срока или срока годности.
(в ред. Федерального закона от 21.12.2004 N 171-ФЗ)
В отношении товаров, на которые гарантийные сроки или сроки годности не установлены, потребитель вправе предъявить указанные требования, если недостатки товаров обнаружены в разумный срок, но в пределах двух лет со дня передачи их потребителю, если более длительные сроки не установлены законом или договором.
(п. 1 в ред. Федерального закона от 17.12.1999 N 212-ФЗ)