Может ли неприватизированная кооперативная квартира отойти государству?

Кооперативная никогда государственной не была, поэтому ее не надо приватизировать.
Надо взять справку о полной уплате пая, техпаспорт БТИ, свой паспорт, и пойти в Росреестр зарегистрировать свое право собственности.
Зарегистрировать уже имеющееся свое право.
А не приватизировать, то есть изменять форму собственности.
Государству (точнее - муниципалитету) она может отойти, только если станет выморочным имуществом, владельцы все умрут, а наследников на 8 очередей не найдется ни одного. Или если бесхозяйственно ее содержать, нарушать права соседей, не платить коммуналку несколько лет - государство через суд может отжать. Но это совсем уж клинический случай. Так что не волнуйтесь, а просто регистрируйте. На это сроков нет.

нет, кооперативная предполагает, что она изначально построенная за средства приобретателя

Приватизировать кооперативную квартиру не нужно, но ее нужно оформить в собственность в росреестре (хотя это нужно было сделать раньше). Основанием для получения свидетельства на право собственности будет служить справка об оплате взноса, которая нужна в качестве правоустанавливающего документа.
Если гражданин выплатил пай до 1997 года, тогда справку нужно зарегистрировать в БТИ и заверить штампом БТИ. В таком случае недвижимость регистрировать не нужно. Следовательно, если взнос был выплачен позднее 1997 года, подобная процедура будет обязательной. Для этого нужно обратиться в территориальный орган Россреестра и подать справку об оплате пая, к которой надо приложить кадастровый номер на данную недвижимость.