Может ли адвокат защищать обвиняемого бесплатно?

Можно и так, но вряд ли кто согласится работать за бесплатно. Если согласится то дай Бог.

а может ли электрик сделать по своей воле Вам свет, если хочет?

может

Может, но не захочет.

Основным документом дающим право адвоката для участия в уголовном деле на стороне обвиняемого являются удостоверение личности адвоката и ордер. В ордере указывается на основании чего вступает адвокат в дело, то есть по соглашению, либо по назначению. Таков закон.

Соглашение заключить нужно и внести чисто символическую сумму. Либо адвокат берет от клиента заявление о том, что он просит освободить его от уплаты в связи.... Адвокату ведь нужно списывать ордер.
Если у адвоката есть совесть, то у него периодически бывают бесплатные клиенты, если он заитересуется делом или просто из сострадания. Глубоко убежден, что вполне хватает клиентов, которые заплачнными гонорарами, позволяют заниматься делами и бесплатно.
Уверяю Вас, что подчас с этими людьми приятнее иметь дело, ем с толстосумами

Теоретически может, а практически нет. Практически даже за услуги бесплатного адвоката у обвиняемого могут высчитать потом деньги.

Мне приходилось так делать. Справедливости ради, чаще всего по окончании дела была вполне приличная премия! В некоторых делах и без денег интересно, но не долго, потом нужны деньги или хотя бы понимание, что в итоге будет что-то приятное. Но соглашение обязательно, даже просто фиктивное, с 1000 рублевым гонораром, который адвокат сам внесет в кассу коллегии.

на лапу надо давать, а там сколько и почем уже на месте решают