Периметр и средняя линия треугольника.

В задаче для однозначного ответа чего-то совершенно очевидно не хватает.

Обозначим стороны треугольника ABC AC = 2x, BC=2y, AB=2z. В таком случае средняя линия равна z. У нас есть периметр AMKB - в наших обозначениях он равен x + z + y + 2z = x + y + 3z = 120. А нужен нам периметр ABC - то есть 2x + 2y + 2z.
Все ограничения, которые есть на x, y, z - неравенство треугольника (любое число меньше суммы двух других - в принципе, хватит потребовать это только от наибольшего). Это накладывает некоторое ограничение:
z < x + y
3z < 3x + 3y
3z + x + y < 4x + 4y
120 < 4x + 4y
x + y > 30
z < 30.

При этом очевидно, что очень маленькие значения z дадут нам требуемую конфигурацию, а вот слишком растянуть z не получится никак.
Ну и посмотрим на 2 конфигурации:
1. z = 1. 2z = 2, 3z = 3, x+y = 117 (такое возможно: например, x=59, y = 58), 2x + 2y + 2z = 236.
2. z = 29. 2z = 58, 3z = 87, x+y = 33 (такое возможно: например, x=17, y = 16), 2x + 2y + 2z = 124.
И в обоих случаях у нас получается периметр AMKB = 120, разумеется. А периметры ABC различаются, и очень сильно.

Ответы получаются разные, потому что конструкция не определена однозначно. Максимальное значение периметра при вырожденном случае z = 0 получается равным 240, минимальное при вырожденном же случае z = 30 получается равным 120. Ни в том, ни в другом вырожденном случае треугольника, естественно, не получается - на то они и вырожденные. Но можно добиться того, чтобы периметр был близок к 120 или к 240, выбирая значения z либо очень близкие к 30, либо очень близкие к 0. Для любого значения периметра от 120 до 240, не включая границы, существует соответствующий треугольник.

Треугольники ACB и MCK подобны с коэффициентом подобия 1:2
P(ABC)=120*2=240