Диагональ AC выпуклого четырёхугольника ABCD является биссектрисой каждого из углов BAD и BCD.

∆ABC=∆ADC по двум углам и стороне.

Тогда АВ=AD, BC=BD

Свойство. В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны

Проверим, правда ли, что АB+DC=AD+BC

Используя АB=AD, BC=DC и подставляя в равенство выше находим, что

AB+BC=AB+BC

0=0

Верно.

Соответственно, АB+DC=AD+BC - верно, и в АBCD можно вписать окружность. Значит, существует такая точка (центр вписанной окружности) внутри четырехугольника ABCD, которая равноудалена от всех его сторон. Докажем что она лежит на диагонали АС.

Метод от противного. Пусть центр вписанной окружности - точка О - лежит не на диагонали АС. Проведём АО. Раз окружность вписана в четырёхугольник, то она касается сторон AB и AD угла BAD, тобишь вписана в угол BAD.

Свойство. Если окружность вписана в угол, то я ее центр лежит на биссектрисе этого угла.

Тогда АО - биссектриса угла BAC. Но у этого угла уже есть биссектриса, по условию. Это АС. Получается, если центр вписанной окружности лежит не на АС, то у угла ВАС существует две различные биссектрисы: АО и АС. Соответственно, возвращаясь к методу от противного, получаем, что центр вписанной окружности лежит на диагонали АС.
Итого: существует такая точка - центр вписанной окружности - на диагонали АС, равноудвленная от все его сторон.

Представим две точки 1 и 2, которые движутся по АС. Причём точка 1 движется от А к С, а 2 от С к А с такими скоростями, что точка 2 в любой момент времени находится от ВС и DС на таком же расстоянии, как точка 1 от АВ и АД. При своём движении они обязательно встретятся, так как движутся по одной прямой навстречу друг другу. В момент встречи точка 1 будет от АВ и АD на таком же расстоянии, как и точка 2 от ВС и СD. Так как в этот момент они находятся на одном и том же месте они находятся на одинаковом расстоянии от всех четырёх сторон.