Геометрия, 9 класс.

3. SPT-равносторонний треугольник, т. к. ST=TP=PS (все углы равны 60)
По теореме Пифагора
(2x)^2=x^2+18^2
3x^2=324
x^2=108
x=√108
x=6√3
4. ED=EC=12
Из В опускаем высоту в точку Н, AH=BH/tg60=12/√3=4√3
AD=4√3+4+12=16+4√3
5. по теореме синусов
20/sin45=AB/sin60=x/sin75
x=20*sin75/√2/2=20*0.966/√2/2=19.32√2

ВО ВСЕХ ЗАДАЧАХ:
^2 - возведение в квадрат
sqrt(x) - корень квадратный из х:
например, sqrt(3) - корень квадратный из числа 3.

3) В прямоугольном треугольнике SPR середина T гипотенузы PR является центром окружности, описанной около этого прямоугольного треугольника SPR. Радиус этой окружности: R = PT = TR = ST = x. Получаем, что треугольник PTS - равнобедренный (PT = ST) с углом при основании SP ∠SPT = 60, т. е. он ещё и равносторонний. А значит, SP = PT = ST = x.
Из треугольника SPR: tg∠SPT = SR/SP = SR/x
x = SR/tg∠SPT = 18/tg60 = 18/sqrt(3) = 6sqrt(3)

4) AE = BC + CE/tg∠BAE = BC + CE/tg60 = 4 + 12/sqrt(3) = 4 + 4sqrt(3)
ED = CE/tg∠CDE = CE/tg45 = 12
AD = x = AE + ED = 16 + 4sqrt(3)

5) ∠B = 180 - ∠A - ∠C = 180 - 45 - 60 = 75
По теореме синусов: AC/sin∠B = CB/sin∠A
x/sin75 = 20/sin45
x = 20sin75/sin45 = 20sqrt(2)*sin75

6) sin∠KNM = KM/KN
KM = KN*sin∠KNM = KN*sin45 = 20sin45 = 10sqrt(2)
tg∠MKE = ME/KM
ME = x = KM*tg∠MKE = KM*tg30 = 10sqrt(2)/sqrt(3) = 10sqrt(2/3)

7) В треугольнике SEF: ∠ESF = 180 - ∠SEF - ∠SFE = 180 - 90 - 45 = 45
∠ESF = ∠SFE - треугольник SEF - прямоугольный и равнобедренный, т. е. SE = EF.
tg∠ERS = SE/RE
SE = EF = RE*tg∠ERS = RE*tg60 = 6sqrt(3)
Из теоремы Пифагора: SF = x = sqrt(SE^2 + EF^2) = sqrt(2SE^2) = sqrt(2EF^2) =
= sqrt(2*[6sqrt(3)]^2) = 6sqrt(6)

8) В треугольнике ABC: ∠ABC = 180 - ∠CAB - ∠ACB = 180 - 45 - 90 = 45
∠ABC = ∠CAB - треугольник ABC - прямоугольный и равнобедренный, т. е. AC = CB.
S(ABC) = AC*CB/2 = AC^2/2
AC = sqrt[2S(ABC)] = sqrt(2*50) = sqrt(100) = 10
sin∠CAD = CD/AC
CD = x = AC*sin∠CAD = AC*sin45 = 10sin45 = 5sqrt(2)