Задача по геометрии. (Метод координат)

Если вам надо сделать это чисто аналитически, то вводите координатную плоскость. Расположите на ней как-нибудь треугольник. Опишу основные шаги.
1) Расположу треугольник так, чтобы один катет лежал на оси x (x>0), второй катет лежал на оси y (y>0), прямой угол в точке (0,0).
2) Далее, наверное, придется предположить, что нижний катет лежит в области:
(0 < x < a)
И верхний катет лежит:
(0 < y < b)
Тогда углы треугольника:
(a, 0)
(0, b)
3) Можем написать уравнение гипотенузы:
y = b - (b/a) x
И уравнение высоты:
y = (a/b) x
Тогда точка их пересечения:
(a b^2 / [a^2 + b^2], a^2 b / [a^2 + b^2])
Используем данные вам размеры отрезков:
9 = a^2 / sqrt(a^2 + b^2)
16 = b^2 / sqrt(a^2 +b^2)
и теорему Пифагора:
a^2 + b^2 = (9 + 16)^2
Находим:
a = 15
b = 20
4) Теперь знаем с определенностью уравнение гипотенузы:
y = 20 - (4/3) x
и высоты:
y = (3/4) x
И точка пересечния гипотенузы и высоты:
(48/5, 36/5)
Тогда можно сразу найти точку середины высоты:
(24/5, 18/5)
5)
Нужно провести прямую и точки:
(15, 0)
через точку:
(24/5, 18/5)
Это прямая
y = (90/17) - (6/17) x
И она выйдет из треугольника, когда пересечет вертикальный катет (то есть ось y). Тогда точка пересечения:
(0, 90/17)
6)
Мы знаем координгаты концов интересующего нас отрезка:
(0, 90/17)
(15, 0)
Значит можем найти его длину по теореме Пифагора:
75 * sqrt(13) / 17