Геометрия 10 класс сечения

обозначим ребро тетраэдра за 1.решим задачу координатным методом ибо с пирамидой координатный удобнее обычного (который на аксиомах и теоремах). уравнение плоскости имеет вид Ах+Ву+Сz+D=0 где {А; В; С}—координаты вектора нормали плоскости. если плоскость проходит через начало координат то в её уравнении D=0 а если не проходит через начало координат то D≠0.если же плоскость параллельна какой-то оси или содержит её то в её уравнении коэффициент при переменной соответствующей этой оси равен нулю. а если плоскость перпендекулярна какой-то оси то коэффициенты при переменных соответствующих остальным двум осям равны нулю. синус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между их векторами нормали. а косинус угла между векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин. таким образом, синус угла между векторами равен |А1А2+В1В2×С1С2|/(√(А1²+В1²+С1²)×√(А2²+В2²+С2²)) где А1,В1,С1 и А2,В2,С2 — коэффициенты при переменных в уравнениях плоскостей. значит сам угол равен arcsin(|А1А2+В1В2×С1С2|/(√(А1²+В1²+С1²)×√(А2²+В2²+С2²))).ну и наконец скалярное произведение векторов равно сумме произведений их координат а длину вектора найдём по теореме Пифагора. итак, решение: введём систему координат с началом в вершине А, ось Х направим вправо, то есть в сторону вершины В, ось Y вперёд, то есть параллельно высоте проведённой из вершины С к прямой АВ в сторону вершины С и ось Z вверх, то есть параллельно высоте тетраэдра в сторону вершины D.координаты точек: А (0;0;0),В (1;0;0),С (1/2;√3/2;0),D(1/2;√3/6;√6/3),K(3/4;√3/12;1/√6),M(1/2;1/√3;1/√6)
а) так как плоскости АКС и АВD проходят через начало координат (А) то у них D=0.а плоскость АВD ещё и содержит ось Х значит у неё и А=0.найдём В и С у плоскости ABD по координатам точки D: √3/6×В+√6/3×С=0.отсюда В=2√2 а С=-1.теперь по координатам точек С и К найдём А, В и С у плоскости АКС. составляем систему уравнений:
{3/4×А+√3/12×В+1/√6×С=0
{1/2×А+√3/2×В=0
отсюда А=√3,В=-1,С=2√2.угол между плоскостями АВD и АКС равен arcsin(|0×√3+2√2×(-1)+(-1)×2√2|/(√(0²+(2√2)²+(-1)²)×√(√3²+(-1)²+(2√2)²)))=arcsin(2√6/9)
б) у плоскостей АМВ и АВС D=0 а у плоскости АВC ещё и А=B=0 так как она перпендекулярна оси Z.значит у плоскости АВС А=B=D=0 а С может быть равно любому числу кроме нуля, возьмём С=1.теперь найдём А, В и С у плоскости АМВ. из координат точки В получается что А=0.по координатам точки М составляем уравнение 1/√3×В+1/√6×С=0.отсюда В=1 а С=-√2.угол между плоскостями АМВ и АВС равен arcsin(|0×0+0×1+1×(-√2)|/(√(0²+0²+1²)×√(0²+1²+(-√2)²)))=arcsin((√2-1)/√3)
в) как мы посчитали в пункте «б» у плоскости АВС А=В=0 а С=1.по координатам точек К и М составляем систему
{3/4×А+√3/12×В+1/√6×С=0
{1/2×А+1/√3×В+1/√6×С=0
значит у плоскости АКМ А=1, В=√3 а С=-√6.угол между плоскостями АКМ и АВС равен arcsin(|0×1+0×√3+1×(-√6)|/(√(0²+0²+1²)×√(1²+√3²+(-√6)²)))=arcsin(√15/5)