Геометрия 10 класс

https://yandex.ru/search/?text=%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0+%D0%9C+%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%82%D1%81%D1%8F+%D0%B2%D0%BD%D0%B5+%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8+%D0%B0.+%D0%9C%D0%9E-%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%2C+%D0%9C%D0%90-%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F.+%D0%9D%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B8%D1%82%D0%B5+%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB+%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83+%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%B9+%D0%9C%D0%90+%D0%B8+%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E+%D0%B0%2C+%D0%B5%D1%81%D0%BB%D0%B8+%D0%9C%D0%9E%3D%D0%90%D0%9E.&clid=2411726&lr=43 в

45 вроде

45 градусов

Пусть плоскость а задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - известные коэффициенты, а точка М имеет координаты (x0, y0, z0).

Так как МО является перпендикуляром к плоскости а, то его направляющий вектор должен быть нормальным к плоскости а. Таким образом, мы можем записать вектор МО следующим образом:

MO = <A, B, C>

Так как МО = АО, то вектор АО также имеет длину МО. Таким образом, вектор АО может быть записан следующим образом:

AO = k<A, B, C>

где k - некоторая константа.

Поскольку МА является наклонной к плоскости а, то ее направляющий вектор должен быть перпендикулярен МО. Таким образом, мы можем найти направляющий вектор МА следующим образом:

MA = <BC/k, -AC/k, A^2 + B^2>

Таким образом, мы получили направляющие векторы МА и плоскости а. Угол между этими векторами можно найти по формуле:

cos(угол) = |MA * N| / (|MA| * |N|),

где N - нормальный вектор плоскости а, который можно записать как N = <A, B, C>/sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Вычислим модули векторов:

|MA| = sqrt(B^2C^2/k^2 + A^2C^2/k^2 + (A^2 + B^2)^2),

|N| = sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

|MA * N| = |ABC + AC^2 + BC^2 + (A^2 + B^2)C|/sqrt(k^2(A^2 + B^2 + C^2)^2).

Подставляя значения модулей и упрощая, получаем:

cos(угол) = (A^2 + B^2)sqrt(A^2 + B^2 + C^2)/(k(A^2 + B^2 + C^2) + Csqrt(k^2(A^2 + B^2 + C^2)^2)).

Таким образом, мы нашли косинус угла между прямой МА и плоскостью а. Чтобы найти сам угол, можно воспользоваться обратной тригонометрической функцией cos.

Пусть плоскость а задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а точка М имеет координаты (x0, y0, z0).
Так как точка М лежит на перпендикуляре МО, то вектор OM коллинеарен нормали плоскости а, то есть (A, B, C).
Тогда вектор MA = (x0 - x, y0 - y, z0 - z), где (x, y, z) - произвольная точка на плоскости а.
Из условия МО = АО следует, что точки М и А находятся на одной сфере с центром в точке О. Таким образом, вектор МА коллинеарен радиусу сферы, проходящему через точки М и А, и имеет длину R (радиус сферы).
Известно, что угол между векторами равен cos(α) = (MA · n) / (|MA| · |n|), где n = (A, B, C) - нормаль к плоскости а.
Выразим скалярное произведение MA · n через координаты точек М и А и уравнение плоскости а:
MA · n = (x0 - x, y0 - y, z0 - z) · (A, B, C) = Ax0 + By0 + Cz0 - (Ax + By + Cz) = -D - (Ax + By + Cz)
Заметим, что точка М и произвольная точка (x, y, z) на плоскости а образуют треугольник МАО, в котором угол при вершине М равен углу МОА. Поэтому sin(α) = OM / R = |OM| / |MA|.
Таким образом, мы получаем выражения для cos(α) и sin(α) через известные параметры:
cos(α) = (-D - (Ax + By + Cz)) / (√[(x0 - x)² + (y0 - y)² + (z0 - z)²] · √(A² + B² + C²))
sin(α) = √[(x0 - x)² + (y0 - y)² + (z0 - z)² - OM²] / √[(x0 - x)² + (y0 - y)² + (z0 - z)²]
где OM = √[(x0 - x)² + (y0 - y)² + (z0 - z)²] - R.
Для конкретных значений коэффициентов A, B, C, D, x0, y0, z0 и произвольной точки (x, y, z) можно вычислить численные значения cos(α) и sin(α).