Объясните пожалуйста, как вычисляется корень любого числа

Очень просто. Если под корнем ноль, то и сам корень равен нулю. Если под корнем любое положительное число, то можно организовать следующий итерационный процесс.
Во-первых, дано уравнение х²=а (а>0), у которого ищется положительный корень, начальным приближением которого можно взять единицу (x₀=1), а следующие по счёту приближения находятся так:
x₁ = ½•(x₀ + a/x₀)
x₂ = ½•(x₁ + a/x₁)
x₃ = ½•(x₂ + a/x₂)
и так далее.
Этот процесс быстро сходится к значению корня, вычисляемому с любой требуемой точностью, но и его, процесс то есть, ещё можно ускорить, работая с такими вещами как мантисса и порядок подкоренного числа. Фактически же чаще всего вычислительная система по показательному представлению числа быстро находит его начальное приближение с требуемой точностью, а итерационный процесс проходится за минимум шагов.
Да, а Вы вообще про какой такой корень спрашиваете? Часом, не какой-нибудь из этих: ³√, ⁵√, ... И что такое "любое число"? Может оно вообще комплексное...

Есть так называемые "полиномы Чебышева", с помощью которых вычисляется любая функция. Но в случае корней отдельная таблица даже не требуется: достаточно логарифмической кривой.

Он не вычисляется , а находится подбором приближенного числа .

Вычислениями приближенных последовательностей, подробней см. описания алгоритмов в вики:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%B9#%D0%92%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4

Второй столбик вторая строчка:

На самом деле вычисляют возведение в степень e ^ (a*ln(k)), где k - число, a - показатель степени

число помноженное на себя = числу под корнем

Проверь, при умножении какого числа на само себя дает в результате число под знаком квадратного корня

Из квадрата