Домашние задания: Геометрия
Максимально упоротая задача по геометрии
Дан равнобедренный треугольник. Найдите внутри этого треугольника все точки такие, что расстояние от такой точки до одной стороны равно среднему квадратичному расстояний до двух других сторон.
Вячеслав Чемерис
153
Максимально упоротый ответ.
Это слабо похоже решение, и уж совсем не является строгим доказательством. Но меня заинтересовала предложенная проблема, я решил над ней подумать. Вкратце опишу свои мысли, возможно это правильное направление, в котором надо думать.
Для начала несколько общих слов. Преобразуем слегка выражение, не умаляя общности, выберем какую-нибудь сторону, к расстоянию до которой будем приравнивать среднее квадратичное.
Я буду называть такую сторону "лишней".
На картинке ниже это OA1. Делаем это просто для удобства.
Первое утверждение. На каждой стороне присутствует ровно две точки, которые подходят под условие.
Доказательство.
Не умаляя общности рассмотрим сторону AC (рисунок ниже). То что это основание ни на что не виляет, тоже можно провернуть и с любой из сторон.
Заметим, что в точках A и C расстояние только до 1 из сторон > 0.
Также заметим, что в любой точке AC расстояния до этой же стороны AC = 0. При этом, если мы будем двигаться из A в C, то перпендикуляр к BC будет уменьшаться, а к AB увеличиваться. И наоборот.
Таким образом, если мы выберем "лишней" BC, то найдется ровно 1 такая точка B2, для которой выполнено условие. Подробности в тексте на рисунке ниже.
Аналогично, если "лишней" будет AB, то ситуация будет симметрично противоположной и тоже найдется ровно 1 точка.
Таким образом, на каждой стороне есть ровно 2 точки, удовлетворяющие условию.
Понятно также, что имеет место некая непрерывность, точки, подходящие под условие лежат на каких-то сложных кривых, которые заканчиваются на сторонах в этих самых вышеупомянутых 6 точках.
ПРОДОЛЖЕНИЕ В КОММЕНТАРИЯХ.
Это слабо похоже решение, и уж совсем не является строгим доказательством. Но меня заинтересовала предложенная проблема, я решил над ней подумать. Вкратце опишу свои мысли, возможно это правильное направление, в котором надо думать.
Для начала несколько общих слов. Преобразуем слегка выражение, не умаляя общности, выберем какую-нибудь сторону, к расстоянию до которой будем приравнивать среднее квадратичное.
Я буду называть такую сторону "лишней".
На картинке ниже это OA1. Делаем это просто для удобства.
Первое утверждение. На каждой стороне присутствует ровно две точки, которые подходят под условие. Доказательство.
Не умаляя общности рассмотрим сторону AC (рисунок ниже). То что это основание ни на что не виляет, тоже можно провернуть и с любой из сторон.
Заметим, что в точках A и C расстояние только до 1 из сторон > 0.
Также заметим, что в любой точке AC расстояния до этой же стороны AC = 0. При этом, если мы будем двигаться из A в C, то перпендикуляр к BC будет уменьшаться, а к AB увеличиваться. И наоборот.
Таким образом, если мы выберем "лишней" BC, то найдется ровно 1 такая точка B2, для которой выполнено условие. Подробности в тексте на рисунке ниже.
Аналогично, если "лишней" будет AB, то ситуация будет симметрично противоположной и тоже найдется ровно 1 точка.
Таким образом, на каждой стороне есть ровно 2 точки, удовлетворяющие условию. Понятно также, что имеет место некая непрерывность, точки, подходящие под условие лежат на каких-то сложных кривых, которые заканчиваются на сторонах в этих самых вышеупомянутых 6 точках.
ПРОДОЛЖЕНИЕ В КОММЕНТАРИЯХ.
Обозначим отрезки от точки до сторон a, b, c
По условию a = корень{(b^2 + c^2)/2}, или 2a^2 = b^2 + c^2
Впишем в треугольник окружность. Из ее центра опустим перпендикуляры в точки касания. Они все будут равны радиусу окружности. Можно записать:
a^2 = b^2
a^2 = c^2
------------складываем
2a^2 = b^2 + c^2
Т.е это искомая точка. И по-моему она единственная, поскольку перпендикуляр - кратчайшее расстояние от точки до прямой. Если передвигать точку по перпендикуляру "а", он будет уменьшаться (увеличиваться), другие два отрезка - наоборот. Равенство будет нарушаться.
Возможно требуется доказывать и другие случаи.
По условию a = корень{(b^2 + c^2)/2}, или 2a^2 = b^2 + c^2
Впишем в треугольник окружность. Из ее центра опустим перпендикуляры в точки касания. Они все будут равны радиусу окружности. Можно записать:
a^2 = b^2
a^2 = c^2
------------складываем
2a^2 = b^2 + c^2
Т.е это искомая точка. И по-моему она единственная, поскольку перпендикуляр - кратчайшее расстояние от точки до прямой. Если передвигать точку по перпендикуляру "а", он будет уменьшаться (увеличиваться), другие два отрезка - наоборот. Равенство будет нарушаться.
Возможно требуется доказывать и другие случаи.
Похожие вопросы
- Проблема с геометрией. Как решить данную задачу по геометрии?
- Помогите решить задачу по геометрии 8 класс пожалуйста!! Тема "Окружность"
- Срочно помогите решить задачи по геометрии пожалуйста с объяснениями!??????
- Решите пожалуйста задачу по геометрии 10 класс
- Помогите решить задачу по геометрии. Чертёж есть.
- Решить задачу по геометрии:
- Помогите, пожалуйста, решить задачу по геометрии с подробным решением.
- Можете, пожалуйста, помочь решить задачу по геометрии?
- Решение задачи по геометрии
- Можете решить задачи по геометрии за 8 класс? Просто эти задачи возможно у меня будут на контрольной, хочу подготовиться
Не умаляя общности выберем 1 из точек. Пусть это будет точка на основании. Потом я расскажу, почему должно работать для любой стороны.
Итак, на картинке ниже есть точка B1, которая удовлетворяет условию, при "лишней" BC. От нее идут перпендикуляры к сторонам, они равны соответственно x и sqrt(2)x.
Для нее все работает. (Под первой фигурной скобкой более подробно это записано).
Замечание. cos(alpha) > 0 и (1 - cos^2(alpha) > 0) потому что угол alpha острый!
Что это все означает? Это означает, что условие точно разрушится при вертикальном подъеме на "положительное" t для данной точки B1 и данной "лишней" BC.
Замечание. В данном случае x, alpha и t - это параметры. Варьируемая неизвестная - только k.
После преобразований получается квадратное уравнение на k с ветвями вверх и, что важно, у него строго 2 корня, так как при t > 0, k не может быть 0, иначе мы останемся в B2, а она точно не удовлетворяет условию.
Замечание. Может ли решений не быть? У меня на этот вопрос ответа нет, я буду считать, что такого быть не может.
Замечание. Кривая, которая соединит по итогу точки на сторонах не является параболой, так как в квадратном уравнении коэффициент при k зависит от t. То есть для каждой t будет своя парабола. Но вместе они сформируют непрерывную кривую, точки на которой удовлетворяют условию!
Основная проблема для точек на боковых сторонах - неодинаковые углы. Но так как треугольник равнобедренный, угол напротив основания можно выразить через угол при основании alpha.
betta = (180 - 2alpha)/2 = 90 - alpha. То есть учитывая, что sin(betta) = sin(90 - alpha) = cos(alpha) и cos(betta) = sin(alpha), можно понять, что параболы, разумеется, поменяются, но в целом размышления останутся теми же, так как betta тоже острый и для него выполняются все требования, которые были наложены на alpha.
На рисунке ниже я примерно изобразил разными цветами кривые из каждой точки. А слева примерный итоговый ответ на поставленную задачу.