Точка Н не лежит в плоскости параллелограмма ABCD.

Прямая, проходящая через середины сторон НА и НС II АС (как средняя линия треугольника АНС). Прямая, проходящая через середины сторон АВ и ВС II АС (как средняя линия треугольника АВС). Две прямые II порознь третьей, параллельны между собой. Ч. и т. д.
А ту чушь, которую написал Никита Кислов NikKislo (точнее скопировал) даже не смотри! Это - бред идиота!

Обозначим точки: A(-a,b,c), B(a,b,c), C(a,-b,c), D(-a,-b,c), N(0,0,h).

Тогда НА: (x+a)/2 = 0, (y+b)/2 = 0, (z+c)/2 = h => x = -a/2, y = -b/2, z = h-c/2.

НС: (x-a)/2 = 0, (y-b)/2 = 0, (z+c)/2 = h => x = a/2, y = b/2, z = h-c/2.

АВ: (x, y, z)/2 + (a, b, c)/2 = (0, 0, h) => x+a = 0, y+b = 0, z+c = 2h.

ВС: (x, y, z)/2 + (a, -b, c)/2 = (0, 0, h) => x+a = 0, y-b = 0, z+c = 2h.

Заметим, что у ВС и АВ совпадают координаты x. Значит, АВ и ВС лежат в одной плоскости, а значит, середины этих сторон лежат на одной прямой.

Также заметим, что у НА и НС совпадают координаты z. Значит, середины сторон НА и НС лежат на одной прямой, параллельной плоскости АВСD.

Осталось доказать, что эти две прямые параллельны.

Вектор, параллельный АВ, можно получить как B - A = (2a, 0, 0). Вектор, параллельный НА, можно получить как Н - А = (a/2, b/2, h-c/2). Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(2a, 0, 0) * (a/2, b/2, h-c/2) = a^2 - (h-c/2)b

Аналогично можно показать, что скалярное произведение векторов, параллельных ВС и НС, равно нулю.

Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через середины отрезков НА и НС, параллельна прямой, проходящей через середины сторон АВ и ВС.