Задание 1 (12 баллов).
В треугольнике EKN с периметром 60 сторона KN больше EK на 8 см. Сторона EN больше стороны EK на 4 см. Найти стороны треугольника.
Задание 2.
Один из углов треугольника в четыре раза меньше второго и на 24° больше третьего угла.
а) Найдите все углы треугольника (12 баллов).
б) Укажите тип треугольника по углам (остроугольный/прямоугольный/тупоугольный) (3 балла).
Задание 3.
Определите, существует ли треугольник с указанным отношением сторон (углов). Если да, укажите его вид по сторонам (разносторонний/равнобедренный/равносторонний) и по углам (остроугольный/прямоугольный/тупоугольный). Ответы поясните.
Стороны относятся как 2:2:7 (11 баллов).
Стороны относятся как 3:7:7 (11 баллов).
Углы относятся как 9:4:5 (11 баллов).
Задание 4 (15 баллов).
Докажите, что треугольники PRS и KLM равны, если PR = KL, PS = KM, медианы RD и LP равны.
Задание 5.
В равнобедренном треугольнике CDE боковыми являются стороны DC и CE. Около треугольника CDE описана окружность с центром O (см. рис. 1). Градусная мера угла DCE равна 40°.
а) Докажите, что углы DOC и EOC равны (17 баллов).
б) Найдите угол DOE (8 баллов).
1).первая сторона = x
вторая сторона = x - 8
третья сторона = (x - 8 + x) / 2 = x - 4
x + x - 8 + x - 4 = 60
3 x = 72
x = 24
Первая сторона = 24 см.
Вторая сторона = 24 - 8 = 16 см.
Третья сторон = 24 - 4 = 20 см.
2).Первый угол треугольника равен x°,
второй угол равен (х-24) ,
третий = 4х .
Сумма углов треугольника всегда равна 180°. Составим уравнение:
х+(х-24)+4х=180°.
Отсюда х+Х-24+4х=180,
6х-24= 180,
6х= 180+24,
6х= 204,
х= 204/6
х = 34°.
х= 34°.
1 угол = 34°, тогда 2 угол равен 34-24=10°, 3 угол равен 4×34=136°.
б) тип треугольника - тупоугольный.
3).У треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей.
Стороны относятся как 2:2:7 - не существует.
Стороны относятся как 3:7:7 - треугольник существует , равнобедренный.
Углы относятся как 9:4:5 - Треугольник не существует.
5).В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны , т.е. DC=CE ,
значит равны углы при основании т.е. ∠D=∠E
Угол при вершине равнобедренного треугольника DCE = 40°( по условию), найдем углы при основании :
∠ D=∠ E=(180-40)/2=70°
∠ С опирается на дугу DE, т.е. вписан и равен половине градусной меры ∩ DE :
∩ DE= 40*2= 80°
Находим дуги, на которые опираются углы при основании равнобедренного △ DCE:
против равных углов лежат равные стороны и равные дуги :
∩ DC= ∩ ЕС=(360-80)/2 = 140°
∠ DOC = ∠ EOC= 140°
Каждый из этих углов опирается на дугу,градусная мера которой 140° и называются центральными , который равен градусной мере дуги .т.е.
∠ DOE=80°
Этот угол называется центральным углом,он опирается на ∩ DE,которая равна 80° и равен ее градусной мере .
а) Докажите, что углы DOC и EOC равны (17 баллов).