Задание по геометрии, пожалуйста.

Какая в жопу геометрия ?!?!
Середина лета!

Увы, но без рисунка. Должно получиться примерно так:

Пусть сторона треугольника АК имеет длину a, сторона ВК — длину b, а стороны медианы и точки КМ имеют длины c и d соответственно.

Заметим, что ВКМ и АКМ — подобные треугольники в соотношении 8:5 по сторонам (используем теорему Талеса). Тогда длина КМ равна 5/13 медианы ВМ:

d = (5/13)c.

Рассмотрим треугольники АКР и ВКР. По теореме Менелая имеем:

(AC/CR) · (RP/PB) · (BM/MA) = 1.

Вспомним, что точка М — середина стороны АВ. Значит, BM = MA = (1/2)a, а AC = 2c (по определению медианы). Подставляем в формулу и получаем:

(2c/CR) · (RP/PB) = 1.

Отсюда CR = 2c/(RP/PB).

Разделим треугольник ВКР пополам медианой КМ. Все полученные треугольники ВКМ, КРМ, АКМ и АКР будут подобными друг другу на основании того, что углы между соответствующими сторонами будут равными, а две стороны имеют соотношение 8:5. Также очевидно, что треугольники ВКР и ВКМ имеют общую высоту, следовательно, их площади будут пропорциональны длинам соответствующих оснований.

Отношение площадей треугольников ВКР и АКМ можно выразить через отношение сторон ВК и АК, учитывая то, что стороны треугольников ВКМ и АКМ отличаются в 8/5 раз:

S_ВКР/S_АКМ = (1/2) * (d/b) / (1/2) * (c/a) * (8/5)^2 = d/b * a/c * 64/25 = (5/13)c / b * a/c * 64/25 = 64/65 * a/b.

Таким образом, отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АКМ равно 64/65.