После занятий с гантелями начала побаливать кисть.

Пару дней паузу.
Потом сменить упражнения - турник, брусья. Там запястья и предплечья нормально нагружаются.
А зачем вообще бицепсы качать? Турник, вертикальная тяга в зале, да и горизонтальный блок дадут нагрузку на бицепс, как его мысленно ни отключай. В этом возрасте надо спину накачать, а бицепс нахрен не нужен.
В детстве я по деревьям лазал, сосны, метров на 20 залезть, оттуда все видать. Вот тогда у меня были крепкие бицепсы.

Уменьши нагрузку, а еще лучше временно прекрати. Иначе само по себе оно вряд ли пройдет

Уф, дядя, делай ЛФК для кисти. Крути и массируй, только осторожно.
Можешь попробовать заменить упражнение с гантелями на упражнение с изогнутым грифом, т. к. на нем положение кистей более приближено к анатомически правильному.
Если не хотите менять, то имеет смысл пересмотреть технику: если кисть заламывает назад, то кисть, скорее всего, будет болеть.

Возможно слабы предплечья, их так же можно накачать. Для этого существует пара упражнений:
1. Для передних групп мышц предплечья (ладонное сгибание) .
Исходное положение: сидя на стуле (табурете) , предплечья положить на бедра, кисти — немного впереди коленей, ладони обращены вверх.
Выполнение: поднимание кистей кверху. Предплечья не отрываются от бедер.
2. Для задних групп мышц предплечий (тыльное разгибание) .
Исходное положение: сидя на стуле (табурете) , предплечья положить на бедра, кисти — немного впереди коленей, ладони обращены вниз.
Выполнение: поднимать кисти кверху, не отрывая предплечий от бедер.