У меня есть 1\4 часть квартиры, она выставленна на продажу....

Если вы являетесь сособственником квартиры (размер доли не имеет значения) , соответственно в случае если другие сособственники захотят продать принадлежащие им доли в праве собственности в этой квартире (подчеркиваю - именно принадлежащие им доли, а не всю квартиру! ) в первую очередь они должны обратиться с предложением о покупке именно к вам, при чем только через нотариуса с указанием цены продажи. В случае, если в течении 1 месяца вы либо через нотариуса откажетесь от покупки, либо проигнорируете такое предложение, они могут продать принадлежащие им доли в праве любому третьему лицу, но по цене не ниже той которая была предложена вам. В случае ести такой порядок будет не соблюден и продажа все таки состоится впоследствии вы сможете оспорить такую сделку в суде и потребовать перевода на вас, прав и обязанностей покупрателя по сделке.
Однако имейте в виду, что если другие сособственники по какой-либо причине намерены продать свои доли третьему лицу, а не вам и у них есть опасения, что вы в случае если получите от них предложение о покупке согласитесь, могут оформить вместо договора купли-продажи договор дарения на третье лицо, при дарении ваше согласие не требуется.

У вас есть 1\4 и она же выставлена на продажу?
Что вы хотите купить "всю"?
Детей несовершеннолетних сможете зарегистрировать без согласия в квартире а не в её части