Бабушка завещала мне всё свое имущество, а это 1/4 часть квартиры, т.к. приватизирована она на четверых.

1- На завещании Вам необходимо поставить отметку, что оно не изменялось и не отменялось - ставиться у нотариуса, который это завещание удостоверил (посмотрите, внизу завещания в удостоверительной надписи есть данные нотариуса, плюс предоставить этому нотариусу оригинал свидетельства о смерти. Иначе отметку не поставят) .
2- Берете справку с последнего места жительства умершей - ЖЭК, РЭУ, паспортный стол, председатель кооператива, т. е. справка из той организации, смотря на чьем баллансе висит дом. В справке должно быть указано, что умершая такая-то на день своей смерти была прописана по такому-то адресу совместно с тем-то или одна.
3- В течении полугода (ИМЕННО В ТЕЧЕНИИ ПОЛУГОДА) Вам необходимо обратиться к нотариусу для подачи заявления о принятии наследства, предоставив уже Вашему нотариусу Ваш паспорт, справку с ПМЖ, оригинал завещания с отметкой, оригинал свидетельства о смерти.
4- После заведения наследственного дела у Вас есть 75 лет (столько дело хранится) для сбора документов для получения свидетельства о праве на наследство по завещанию.
5- Всю интересующую Вас информацию можно будет узнать у нотариуса.

Самое главное - обратиться к нотариусу с заявлением о принятии наследства до истечения шестимесячного срока.
Остальное Вам расскажет нотариус
Удачи

До истечения 6 месяцев со дня смерти подайте заявление нотариусу о вступлении в наследство. Все остальное скажут там.

Когда придет срок (дай Бог здоровья вашей бабушке) , вы должны как можно быстрее придти к любому нотариусу, ведущему наследственные дела. С собой принести завещание, документы на квартиру, ваш паспорт и справку с места жительства, о том, что бабушка проживала там на момент смерти. Все остальное - отметка нотариуса на завещании, справки БТИ и прочее вы донесете потом. нотариус даст вам запросы на эти документы. Но имейте ввиду, что если у бабушки на момент ее смерти будут наследники первой очереди (дети, супруг) , которые достигли пенсионно возраста, или имеют инвалидность, то они могут претендовать на обязательные доли в бабушкиной доле квартиры.

К нотариусу с заявлением.