Я и мой ребенок прописаны в квартире бабушки, а живем в другом месте.

НЕТ если есть подтверждение Ваше отсутствия, ДА если его нет
307-ПП от 23.05.2006 "Предоставлении коммунальных услуг гражданам".
Прочтите постановление и Вам все сразу станет ясно.

56. Перерасчет размера платы за коммунальные услуги осуществляется исполнителем в течение 5 рабочих дней на основании письменного заявления потребителя, поданного в течение месяца после окончания периода временного отсутствия потребителя. Результаты перерасчета размера платы отражаются в платежном документе, представляемом в порядке, указанном в пункте 36 настоящих Правил. К заявлению прилагаются документы, подтверждающие продолжительность периода временного отсутствия потребителя и (или) проживающих совместно с ним лиц по месту постоянного жительства. Документом, подтверждающим временное отсутствие потребителя, могут являться:

а) копия командировочного удостоверения или справка о командировке, заверенные по месту работы;

б) справка о нахождении на лечении в стационарном лечебном учреждении;

в) проездные билеты, оформленные на имя потребителя (в случае если имя потребителя указывается в данных документах в соответствии с правилами их оформления) , или их копии;

г) счета за проживание в гостинице, общежитии или другом месте временного пребывания или их копии;

д) справка органа внутренних дел о временной регистрации потребителя по месту его временного пребывания;

е) справка организации, осуществляющей охрану жилого помещения, в котором потребитель временно отсутствовал;

ж) иные документы, подтверждающие временное отсутствие потребителя.

Вам нужно сделать временную регистрацию по месту пребывания. Тогда не будете оплачивать

Если вы не приносите справку с места проживания, значит там где вы имеете регистрацию не могут сделать перерасчет за коммунальные платежи. Значит вы обязаны их оплачивать.

Предоставьте справку, что Вы платите за коммунальные услуги по месту Вашего с ребёнком проживания и тогда их снимают по месту Вашей прописки

поставьте счетчики на воду, на газ, свет и так оплачивается по счетчику, так вы будете оплачивать только отопление в зимний период. Не платить совсем не получится так как даже в пустую квартиру тепло поступает.

По закону даже если в квартире никто не живет, вы должны платить ( и все равно прописаны вы там или только являетесь хозяином).

где прописаны там и должны оплачивать

К сожалению в нашей стране бюрократия. Нужно платить.