Как можно отсудить квартиру, если её половина по завещанию будет принадлежать другому человеку?Я там прописана одна

По разному... информации мало в вопросе...

надо подать заявление в суд....

Если другая половина, т. е. 1\2 - Ваша по завещанию, то вы с этим гражданином - др. наследником по завещанию- сособственники будете, когда выдадут Вам свидетельства о наследстве и зарегите свои права собственности на его основании в Росреестре. Можете с сособственником договариваться- м. б. один у другого выкупит долю. чтобы полностью владеть жилым помещением. Судиться нет оснований.
Если Вы не наследник по завещанию, то никаких прав не имеете, несмотря на регистрацию в этой квартире.
За исключением возм. имеющ. права на обяз. долю, несмотря на ваше отсутствие в числе наследников по завещанию, что регулир. законом.

Жилое помещение находится в собственности другого гражданина, то лишить его собственности вы никак не сможете,

Как Вы собираетесь ее отсуживать, мировое соглашение надо подписывать, одна лишьпрописка не дает Вам право на чужую собственность

Можно и оспаривать завещание, но для этого должны быть основания (подделка такового, неадекватная оценка собственных действий завещателем в момент подписания) . В этом случае проводится ряд экспертиз в рамках судебного процесса, которые подтверждают или не подтверждают подобные факты. Если подтверждают - квартира делится по закону. Здесь учитываются родственные связи, а не прописка. Если не подтверждают - суд отказывает в иске, и квартира - пополам, как указано в завещании. В любом случае прописка значения не имеет.