Какие права у прописанных в квартире?

Абсолютно никаких. Регистрация (а не прописка, кстати) - это просто уведомление ФМС о месте вашего жительства. Т. е. куда вам письма слать. То что вы сообщили ФМС свой адрес не дает никаких прав.

Никаких.
Они имеют право только проживать в этой квартире, и то, до тех пор пока мама им это дозволяет.
В остальном вопрос малоинформативен.
Удачи

Право пользования этой квартирой

Только право пользования для проживания и регистрации своих детей н/летних

Статья 50. Норма предоставления и учетная норма площади жилого помещения

1. Нормой предоставления площади жилого помещения по договору социального найма (далее - норма предоставления) является минимальный размер площади жилого помещения, исходя из которого определяется размер общей площади жилого помещения, предоставляемого по договору социального найма.
2. Норма предоставления устанавливается органом местного самоуправления в зависимости от достигнутого в соответствующем муниципальном образовании уровня обеспеченности жилыми помещениями, предоставляемыми по договорам социального найма, и других факторов.
3. Федеральными законами, указами Президента Российской Федерации, законами субъектов Российской Федерации, устанавливающими порядок предоставления жилых помещений по договорам социального найма указанным в части 3 статьи 49 настоящего Кодекса категориям граждан, данным категориям граждан могут быть установлены иные нормы предоставления.
(в ред. Федерального закона от 29.12.2006 N 250-ФЗ)
4. Учетной нормой площади жилого помещения (далее - учетная норма) является минимальный размер площади жилого помещения, исходя из которого определяется уровень обеспеченности граждан общей площадью жилого помещения в целях их принятия на учет в качестве нуждающихся в жилых помещениях.
5. Учетная норма устанавливается органом местного самоуправления. Размер такой нормы не может превышать размер нормы предоставления, установленной данным органом.
6. Федеральными законами, указами Президента Российской Федерации, законами субъектов Российской Федерации, устанавливающими порядок предоставления жилых помещений по договорам социального найма указанным в части 3 статьи 49 настоящего Кодекса категориям граждан, данным категориям граждан могут быть установлены иные учетные нормы.

(ст. 50, "Жилищный кодекс Российской Федерации" от 29.12.2004 N 188-ФЗ (ред. от 18.07.2011))

есть право проживания, а так же право проживания родившихся у них детей

дети имеют равную долю имущества, но только после смерти родителя, и то, учитывая, что нет завещания
а пока родитель жив, фактических прав вы не имеете