Насчёт договора между физическими лицами. Вопрос внутри.

Нотариусы бредни не удостоверяют.
Если вы вселитесь в жилое помещение по законным основаниям, то и зарегитесь в УФМС.

От того, что вы проживаете и зарегены права собственности не приобретете и "претендовать" не можете
Право собственности в квартире вашего друга собственника вы можете приобрести только если купите у друга все жилое помещение или долю в нем,
или друг передаст вам в собственность безвозмездно - по дог. дарения,
или завещает вам и немедленно откинется.

Проблема м. б. у друга только с вашим последующим выселением и снятием с регучета.
Поэтому
1 вариант- вселять временно по дог. найма или безвозм. пользования- срочный договор, зарегить вас по месту пребывания на срок действия договора - на три мес. например, или на 6 мес.
Истек срок регистрации и досвидос, а можно и продлить и договор и рег. на его основании.

2 вариант- бессрочн. дог. безвозмездн. пользования, заключ. между вами и собственником-другом, на основании кот. вы вселяетесь и регитесь по месту жительства.
Такой договор можно расторгнуть в любое время по инициативе люб. стороны.
Соответственно в связи с расторжением договора утрачив. основания для проживания и пользования, и вы должны будете выселиться и сняться с регучета.
Если будете упрямиться, то друг вас через суд выселит со снятием с регучета.

В России нотариус не заверяет расписки...

а вы и без расписки не будете претендовать на собственность. "прописка", то бишь регистрация НЕ дает НИКАКИХ прав, кроме права проживания.
если ваш друг переживает, что вы не выпишетесь потом, то предложите сделать не регистрацию по месту жительства, а регистрацию по месту пребывания, то бишь "временную прописку". это удобно всем - вы будете "прописаны", а ваш друг спокоен и уверен, что сможет вас выселить в случае необходимости.

проконсультируйтесь у натариуса!

Смею Вас огорчить, но регистрация да же по месту жительства - это лишь административный акт, который сам по себе, при отсутствии оснований для регистрации, не порождает гражданско-правовых последствий, как и наоборот.
Другими словами регистрация сама по себе не порождает никаких прав да же на проживание.