Квартира не приватизирована. Должна ли жилконтора менять бесплатно трубы и батареи в квартире? Все ржавое уже.

за Ваши деньги может поменять те коммуникации, которые не относятся к общему имуществу. Можете обратиться за заменой в иную специализированную организацию.
Общее имущество ремонтируется и подлежит замене за счет тех средств, которые Вы оплачиваете ежемесячно по счет-квитанции.
Что относится к общему имуществу можете почитать в Постановлении Правительства РФ № 491 от 13.08.2006г.

Теперь это оплачивает потребитель.

Бесплатно - нет. УК это не фонд Сороса. За текущий ремонт общего имущества вы ежемесячно платите деньги.
А вот текущий ремонт имущества, НЕ относящегося к общедомовому - за ваш счет.
Наймодатель обязан производить только кап. ремонт.

Так как в вашем случае собственником квартиры являетесь не вы, а муниципальное образование, то вы имеете право требовать с них проведение ремонта водостоков, канализаций и т. д. , даже если они находятся в квартире (так как собственник не вы) . При этом, если порча имущества произошла по вашей вине, то вы должны будете оплатить стоимость такого ремонта, т. е. произвести его сами. Если в компании по ЖКХ вам отказывают в проведении ремонта, то можно подать им письменное заявление (в простой письменной форме) о произведении акта замеров, оценки и обследования, а также о проведении ремонта. Заявление делается в 2 экземплярах, и на втором вам делают отметку о том, что заявление принято. Такое заявление компания должна рассмотреть в 3дневный срок, и в 7дневный дать вам письменный ответ по заявлению. Если ответ отрицательный, то надо будет смотреть уже основания такого ответа и действовать по данным обстоятельствам.