Имею я какие либо права или пренадлежит ли мне что-то, если дом - приватная собстенность свекрови

Ну, во-первых, даже завещание можно оспорить, а, во-вторых, после смерти свекрови ее сын является наследником первого порядка, а ваши дети - наследники второго порядка, так что им нужно будет за свои права еще побороться. Вы же ни сейчас ни потом никаких прав на дом не имеете. Дети ваши могут там проживать, выписать их она не имеет права, т. к. они несовершеннолетние.

Вы можете рассчитывать на хорошее отношение свекрови. Если отношения плохие она без проблем в судебном порядке выселит Вас оттуда.

после смерти свекрови ваши дети получат долю в наследстве
сейчас никаких прав на дом ни у вас, ни у детей нет

Ублажайте свекровь. . Может завещать дом кому угодно, вплоть до посторонних лиц..

пока свекровь жива, ни на что рассчитывать не можете. В случае смерти свекрови вне зависимости от прописки на Ваших детей переходит право наследования, т. е. если бы муж был жив, то он получил бы половину наследства. Теперь эта половина перейдет Вашим детям в равных долях, т. е. по 25% на каждого. Пусть, конечно, свекровь будет жива и здорова, но в случае ее смерти Вам нужно сразу обратиться в государственную нотариальную контору по месмту нахождения дома, чтобы зарегистрировать право детей на наследство.
Такой вид наследования называется наследование по представлению.