Какие действия нужно предпринять для передачи доли имущества?

Если умершая не писала завещания, то будет наследование по закону.
По закону наследники первой очереди: родители умершей, супруг и дети. Раз ваша умершая сестра в браке не состояла на момент смерти, у нее нет детей (и нет внуков от умерших ее детей), нет в живых ее отца, есть только мать, то мать и будет единственным наследником первой очереди по закону.
Мать идет к нотариусу в течение 6 мес. с даты смерти дочери своей- подает заяву о принятии наследства, пр. доки- о родстве. по имуществу входящему в наследств. массу.
Через 6 мес. нотариус оформит и выдаст матери свидетельство о праве на наследство, на его основании мать зарегит право собственности в ЕГРП . И станет мать собственником 2/3 (1/3 у нее была и добавилась еще 1/3 по наследству).
Потом мать, если хорошо подумала и хочет, может вам подарить свою долю 2/3 , -договором дарения. И Вы в итоге станете единственным собственником всей квартиры.
-----------------
Про отцов выше в ответе- в игнор, ибо отец наследодателя умер, а чужие отцы не при делах.
Отцы др. дочерей вашей матери ведь не усыновляли вашу умершую сестру?
Ну и забудьте про них в контексте наследования имущества вашей умершей сестры.

по вашей сестре наследуют только мама и отец. Придется оформлять наследство на них, затем выкупать долю отца (1\6 квартиры) и только затем оформлять всю квартиру на Вас

Свои доли вам мама может и подарить, но для этого ей придется принять наследство в течении полугода, наряду с отцом, который одинаково является наследником. Можно поговорить с отцом чтобы сделал отказ в пользу матери, и тогда мать сможет подарить вам все. Возможно отцу и дела нет до наследства, но если вы ему дадите денег, возможно он может пойдет вам и маме настречу. Тогда все просто. В противном случае часть наследства зависнет у отца.

Начать с обращения к нотариусу родителей, они наследники первой очереди ( ст 1142 ГК РФ) к нотариусу в течение 6-ти мес со дня смерти их дочери (вашей сестры), НЕ ПОСЛЕ с заявлением о принятии наследства. ПОСЛЕ, хотя мама и приняла наследство фактически, (зарегистрирована в квартире) нотариус имеет право не принять заявление, а отправить доказывать фактическое принятие через суд. Что касается отца, его обращение ПОСЛЕ, лишит его права для принятия наследства.
Родители после исполнения 6-ти мес. смогут получить свидетельства о праве на наследство, зарегистрировать свое право в ЕГРП и после этого будут иметь право распорядиться своими долями, как собственники: продать, подарить, завещать...
Мама может подарить только свои доли. Если есть еще сестра, то право распоряжения только у нее. Мама ее долю подарить Вам не может. К тому же Вы не написали сколько лет сестре "средней". Совершеннолетняя, проблем не будет.