В какой суд подаётся исковое заявление о взыскании задолженности по договору найма жилого помещения?

выселяй его - ничего вы не взыщите

Слишком мало информации...
Однако, платит же! За занимаю им площадб..
а почему Вы решили, что платить должен 100% ваши предположения?
А собственник решил, раз не живу, платить не буду? Вот тут то и кроется ошибка в его рассуждлениях.. Закон говорит другое..
Ах да! по вопросу!! До 50 000 рублей мировой суд,
свыше 50 000 рублей федеральный (районный) суд..

И есть договор? И собственник платит налоги?

"В договоре аренды было оговорено, что он занимает только половину комнаты, и за неё должен платить"
И на каком основании вы собрались отсуживать аренду за полную комнату? Да и кстати половина комнаты не может являться объектом договора найма, так что в этой части договор у вас скорее всего составлен неверно.

"Однако арендатор-наниматель занял всю комнату, принадлежащую собственнику-арендодателю"
Доказать это сможете?

В арбитражный суд.

Вы даже не в курсе, что у вас должен быть Договор найма, а не аренда. суд проиграете только на таких пустяках. Вы в курсе, что вы должны Доказать нарушение договора, а не просто сказать??
Не парьте голову - просто скажите нанимателю, что вас не устраивает - не договоритесь, расторгайте договор.
Расписки давали?
По человечески не уедет - меняйте личинку замка.
В суде можно провести годы, а он будет жить у вас... И если решение суда будет не в вашу пользу, вот тогда впрямую придется нарушать закон, чтобы выгнать.

Что такое расписка-договор? К юристу идите с этим чудо документом. Не видя его, сказать ничего невозможно

Если в договоре нет срока действия, то считается, что он (договор) заключен на неопределенный срок. Расторжения такого договора по инициативе наймодателя (хозяина) допускается с уведомления нанимателя не менее чем за 2 месяца. Уведомить лучше заказным письмом с описью содержимого и уведомлением о вручении.
А теперь о самом интересном.
Жилец похоже юридически подкован и крови выпьет много. Мой совет - расставайтесь с ним побыстрее.
Договор найма жилого помещения можно заключить только на ИЗОЛИРОВАННОЕ жилое помещение. На полкомнаты НЕЛЬЗЯ. Так что суд скорее всего будет считать что сдается вся комната за цену которая указана в договоре.