как снять малолетнего ребенка с долевой собственности на квартиру? При этом у ребенка есть другая доля в частном доме

По согласованию с опекой можно, за счет увеличения доли ребенка в частном доме. Если, к примеру, у него сейчас в частном доме 1/4 доли, то подарите ему еще половину. Скорее всего, рекомендуют предоставить ему дополнительно столько же метров в частном доме, сколько метров содержит его доля в квартире.
А могут и просто разрешить продать, безо всяких условий. Если семья нормальная.

"Снять"- никак.
Если Вы имели в виду отчуждение, то с предварит. разрешения опеки отчуждение имущества несовершеннолетних.
Опека даст. согласие, если не будут нарушены имущественные и жилищные права ребенка.
Т. е если на деньги от продажи доли ребенка ему купят долю в ином жилом помещении по площ. не меньше.
Или, если жилищ. права ребенка не нарушаются, например потому,
что у него есть иное жилое помещение в собственности (или доли в нем), и одновременно он все равно в двух жилых помещениях не живет, тогда деньги от продажи доли ребенку на спец. счет.
Вот в опеку и идите, рассказывать что у вас там, и как вы в интересах ребенка что хотите сделать с его имуществом, - просить разрешения.

Никак. Опека вам не даст и правильно сделает. Вы можете только улучшать положение ребенка, но никак не ухудшать... Продайте долю с разрешения опеки и купите новую

Снять не можете, продать долю ребёнка можете с разрешения ООиП и предоставления ему жилья не хуже имеющегося. Доля в частном доме не играет роли в вашей ситуации.

Оспорить приватизацию.