Подскажите пожалуйста, кто должен ремонтировать балкон, если квартира находится в управлении МУ "Управляющая организация

Так как Вы являетесь ответственным квартиросъемщиком, то свой балкон
ремонтировать должны Вы сами, и даже суд Вам не поможет, если Вы обратитесь
в суд, то проиграете дело, так как эта организация не пользуется Вашей квартирой и не
живет в ней!!!

Собственник помещения, если иное не установлено договором управления многоквартирным домом. В случае, если балкон является аварийным, то собственники помещений в многоквартирном доме на основании соответствующего решения общего собрания о реконструкции балкона (замена несущих конструктивных элементов здания - относится к его реконструкции).

Добавлю к совершенно обоснованному ответу Александра Реутта:
1) ни в одном из случаев УК Вам балкон ремонтировать не должна (если, конечно, это отдельно не сказано в договоре. Думаю - врядли это там есть) : хоть текущий ремонт, хоть капитальный. Это связано с тем, что балкон даже не входит в общую площадь жилого помещения. Плату за жилое помещение Вы вносите за текущие содержание и ремонт ОБЩЕГО ИМУЩЕСТВА многоквартирного дома, каковым балкон не является (ч. 2 ст. 154 ЖК) .
Это чисто Ваша собственность. Разница между текущим и капитальным ремонтом (или реконструкцией) в следующем:
при кап. ремонте/реконструкции проводятся работы по коструктивным элементам, которые уже являются не только Вашей собственностью, но и всех собственников всего дома (ст. 36 ЖК) . Для проведения этих работ требуется согласие 2/3 собственников и оплата - от ВСЕХ собственников (ч. 2, 3 ст. 158 ЖК) . А кому это надо? Они, естественно, все проголосуют против. Здесь выход один: ставить на собрании вопрос о кап. ремонте/реконструкции ВСЕХ балконов. УК, возможно, поможет Вам просчитать расходы и найти подрядчиков.
Если речь идет о текщем ремонте, то здесь в чистом виде ст. 210 ГК, ч. 3 ст. 30 ЖК: собственник и только собственник несет бремя содержания своего имущества.

Таким образом: тихонько отремонтируйте СВОЙ балкон. Либо на собрании ставте вопрос о ремонте ВСЕХ балконов (в случае необходимости проведения кап. ремонта/реконструкции) за отдельную плату от всех собственников. Входить в квартплату эти работы не могут.

Смотря что именно ремонтировать. Если к примеру, он находится в аварийном состоянии, то управляющая компания должна произвести ремонт. А если это обыкновенный текущий ремонт, то сами делаете - точно также как в своей квартире.