Если я продам свою квартиру и, соответственно, выпишусь из нее, как я смогу без прописки купить другую?

Договор купли-продажи будет на руках. А купить другую - это дело денег. Всё абсолютно просто.

На права собственности регистрация не влияет. купите другую квартиру и зарегистрируетесь в ней как собственник

Прописка (регистрция) - это учет гоаждан, а гражданские права, в том числе право приобретать имущество, от штампа в паспорте не зависит. Купите квартиру - в ней и зарегистрируюсь.
Удачи.

покупают по паспорту, а не по прописке!

отсутствие регистрации не является препятствием к заключению договора купли-продажи

Для покупки нужны деньги, а не прописка....

сможете

Продавать надо с одновременной покупкой квартиры. Это всегда делается так.
И договоре купли-продажи указываются сроки освоблжения и снятия с рег. учета.
Ничего сложного здесь нет.

купите. Просто в договоре купли-продажи у Вас будет прописано: "ранее зарегистрированный по такому-то адресу".

Снятие с регистрационного учета никак не помешает вам купить квартиру.
Во-первых, вы можете быть зарегистрированы по прежнему адресу временно. Во-вторых в договоре может быть предусмотрено условие, что вы снимаетесь с регистрационного учета в какой-либо срок допустим с момента регистрации договора и перехода права собственности в органах государственной регистрации прав на недвижимое имущество и сделок с ним (УФРС) . В-третьих, можете совершать одновременную куплю-продажу, эти моменты в плане регистрации договора для вас совпадут и пройдут незаметно.
Когда зарегистрируете прекращение права собственности и договор на прежнюю квартиру, берете свой экземпляр договора, идете в паспортный стол и пишите заявление о снятии с регистрационного учета, с договором, по которому приобретаете квартиру, действуете аналогично.