Как можно проверить, что работаю легально?

Да, это следует узнать в пенсионном фонде.
Но, если у Вас на руках трудовой договор, то отчисления работодатель делать обязан.
Потом можно будет обязать его заплатить штраф и выплатить всю сумму налогов, которые должен.

После подписания трудового договора и на основании него вы должны были подписать приказ о зачислении в штат. О зарплате Вы должны расписываться в ведомости вместе с коллегами по работе. У Вас должен быть полис ОМС от компании.
Если это так, то я думаю, что все в порядке с отчислениями, иначе работодатель не стал бы рисковать. У вас куча доказательств.

Также на основании статьи 62 ТК РФ Вам обязаны предоставить копии интересующих Вас документов.
Попросите копии приказа о зачислении в штат, копию трудовой (там должны быть внесена запись о начале работы) , 2НДФЛ и т. д.
Если есть трудовой договор, то отношения между Вами закреплены на бумаге. Далее проблема работодателя составить приказ и сделать запись в трудовой. На это дается 3-5 дней от начала работы. Если этого не сделано - им штраф.

Напишите заявление в Пенсионный фонд о отчислениях на ваше имя (уплате предприятием в которой вы работаете пенсионных взносов)

все правильно. в пенсионный продиктуете номер своего страхового свидетельства и вам скажут. и обычно пенсионный в конце года письма расслыает с этими сведениями.

идете в свой пенсионный фонд и там узнаете.

Обратитесь в пенсионный фонд попросите помощи

Попросите у них справку о зарплате, скажите, что будете поручителем по кредиту, например. ))
Там расписывают доходы и налоги.
Ну или в Пенсионный фонд запрос сделайте. они все проверят, вам отчитаются.

Из реального:
1. Справка 2-НДФЛ от бухгалтерии организации - сразу видна сумма дохода и отчисляемых налогов.
2. Запрос в пенсионный фонд - если не приходят раз в полгода-год выписки.
3. При наличии СБ и контактов там - тупо пробить по базе на предмет отчислений.