Нужно ли вести журнал регистрации трудовых договоров? Как и какие требования, названия колонок?

Конечно. Если документ предполагает регистрационный номер и дату регистрации, то и журнал регистрации необходим.
Колонки: порядковый номер, номер договора, дата регистрации, ФИО работника, должность/подразделение, можно особенности договора (срочный, совместительство) . Примечание.
Мы ведем в электронном виде, по завершение года распечатываем и переплетаем. В графе примечание как правило ставим в электронном виде необходимые пометки, как правило временные. Так что эта колонка не обязательна.

ПИСЬМО Роструда от 09.08.2007 № 3045-6-0
Вопрос:
Начинается ли нумерация трудовых договоров каждый год заново или же продолжается прежняя?

Ответ:
В Правовом управлении Федеральной службы по труду и занятости рассмотрено обращение от 25.07.2007 № 1/56 о порядке нумерации трудовых договоров. Сообщаем следующее.
Номер трудового договора не относится к обязательным сведениям, предусмотренным ст. 57 Трудового кодекса. Вместе с тем унифицированные формы первичной учетной документации по учету труда и его оплаты, утвержденные Постановлением Госкомстата России от 05.01.2004 № 1, предусматривают нумерацию трудовых договоров.
Действующими нормативными правовыми актами не регламентирована процедура нумерации трудовых договоров, основным смыслом которой являются упорядочение договоров с точки зрения надлежащего делопроизводства и идентификация договоров.
Как правило, на практике используется система, при которой номер трудового договора состоит из собственного номера договора и цифр, обозначающих год его заключения. Например, трудовому договору, заключенному в марте 2007 г. , присваивается номер 16/03.
Таким образом, так или иначе нумерацию трудовых договоров в следующем году можно начинать заново.
Начальник
Правового управления
Федеральной службы
по труду и занятости

В трудовом законодательстве не содержится документа, предусматривающего обязательную для применения форму Журнала регистрации трудовых договоров. Журнал, прежде всего, нужен самому работодателю для получения полной и достоверной информации о регистрации, учете и движения в организации договоров с работниками. Поэтому работодатель самостоятельно должен определять, какую информацию вносить в Журнал. Как правило, в нем учитываются следующие сведения: дата и номер трудового договора, ФИО работника, должность на которую принят работник, сведения о получении трудового договора на руки, сведения о внесении изменений в трудовой договор, дата и основание расторжения трудового договора, и другая необходимая информация.
Коли уж вы решили завести регистрационный журнал, то согласно требований делопроизводства: каждый журнал должен быть пронумерован, прошнурован и скреплен печатью.