В каком случае возможен перевод и какие необходимо для этого оформить документы?

попросите на новом месте оформить вам письменное предложение о работе- это будет гарантом вашего приема ( хотя не 100%), можно оформить и переводом- для этого с нового места работы вам должны дать гарантийное письмо настоещему работодателю о вашем переводе ( можно без указания должности).

Для подстраховки Вам можно пойти в отпуск с последующим увольнением.

Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Увольняйтесь по соглашению сторон (п. 1 части 1 статьи 77 ТК РФ) . В данном случае вам не нужно отрабатывать 2 недели, а будете уволены тем днем, который указываете в заявление (а соглашение сторон и предусматривает то, что работодатель согласен с вашей просьбой о дате увольнения).

Работа у другого работодателя не обязывает прежнего учитывать это, т. е. перевод только по договоренности между руководителями и при их доброй воле по Вашему заявлению. А ему это надо?