У меня двое несовершеннолетних детей, могу ли я быстро (без отработки 2 недели) уволиться с работы?

Немного расширено понятие «других случаев» в подп. «б» п. 22 Постановления Пленума ВС РФ от 17.03.2004 № 2 «О применении судами Российской Федерации Трудового кодекса Российской Федерации» , в соответствии с которым трудовой договор может быть расторгнут по инициативе работника и до истечения двухнедельного срока предупреждения об увольнении по соглашению между работником и работодателем. Если заявление работника обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию либо наличие иных уважительных причин, в силу которых работник не может продолжать работу.
Также к уважительным причинам, доказанность которых влечет возникновение у работодателя обязанности уволить работника в указанный им срок в соответствии с ч. 3 ст. 80 ТК РФ, можно отнести:
1) перевод мужа или жены на работу в другую местность, т. е. в другой населенный пункт, направление одного из супругов на работу или для прохождения службы за границу;
2) необходимость ухода за больным членом семьи при наличии медицинского заключения, выданного лечебным учреждением, а также за инвалидом 1-й группы;
3) перевод на другую работу к месту жительства мужа или жены;
4) переезд в другую местность в порядке организованного набора или переселение для выполнения сельскохозяйственных работ;
5) болезнь, препятствующая продолжению данной работы или проживанию в данной местности при наличии соответствующего медицинского заключения;
6) избрание на должность по конкурсу;
7) зачисление на дневное отделение в высшее или среднее специальное учебное заведение, аспирантуру, клиническую ординатуру;
8) увольнение в связи с выходом на пенсию;
9) увольнение по собственному желанию работающих инвалидов и пенсионеров;
10) увольнение беременных женщин и матерей, имеющих ребенка в возрасте до 14 лет, а также родителей, имеющих на своем иждивении трех и более детей, не достигших возраста 16 лет, и учащихся в возрасте до 18 лет.

Нет, не можете. То, что вам "скопировали" с сайта не является нормотивным актом. Если пройдете по указанной ссылке, то увидите, что там идет такой же диолог на эту тему, как и здесь. А если откроете само выше названное постановление пленума верховного суда, то ни чего того, что написано в понравившемся вам ответе не найдете. Проще всего позвонить в гострудинспекцию и вам там объяснят, что само по себе наличие несовершеннолетних детей не является причиной для немедленного увольнения по вашему требованию.
Пожалуйста, цитата из постановления:
"22. При рассмотрении споров о расторжении по инициативе работника трудового договора, заключенного на неопределенный срок, а также срочного трудового договора (пункт 3 части первой статьи 77, статья 80 ТК РФ) судам необходимо иметь в виду следующее:
а) расторжение трудового договора по инициативе работника допустимо в случае, когда подача заявления об увольнении являлась добровольным его волеизъявлением. Если истец утверждает, что работодатель вынудил его подать заявление об увольнении по собственному желанию, то это обстоятельство подлежит проверке и обязанность доказать его возлагается на работника;
б) трудовой договор может быть расторгнут по инициативе работника и до истечения двухнедельного срока предупреждения об увольнении по соглашению между работником и работодателем.
Если заявление работника обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию либо наличие иных уважительных причин, в силу которых работник не может продолжать работу, например направление мужа (жены) на работу за границу, к новому месту службы) , а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора, работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника. При этом необходимо иметь в виду, что названные нарушения могут быть установлены, в частности, органами, осуществляющими государственный надзор и контроль за соблюдением трудового законодательства, профессиональными союзами, комиссиями по трудовым спорам, судом; "
Как видите, нет ни одного слова о детях

Нет, не можете - закон для всех один, от количества детей это не зависит

если задерживают зарплату, на определённый срок, то в течении дня можно уволиться

Да, можно, то ли в течении 3 дней после подачи заявления, то ли недели... только надо грамотно обьяснить причину увольнения, что вы вынужденны это сделать... ( типа как по уходу за несовершеннолетними детьми)

Конечно, по уходу за ребёнком.

только по согласованию с руководством.

По соглашению сторон, объясните что в противном случае уйдете на больничный с одним из детей, а во время больничного листа почти весь срок отработки пройдет. то есть пишите заявление на увольнение, а во время отработки сидите на больничном, а больничный с детками не проблема.