Могут ли сократить работника, имеющего двое несовершеннолетних детей и являющего единственным кормилицем?

Могут. Почему нельзя?
При сокращении уведомляют за 2 месяца и при увольнении выплачивают среднемесячный заработок.
в соответствии со ст. 179 Трудового Кодекса РФ, при сокращении численности или штата работников, преимущественное право на оставление на работе предоставляется:
а) работникам с более высокой производительностью труда и квалификацией;
б) при равной производительности труда и квалификации: семейным - при наличии двух или более иждивенцев (нетрудоспособных членов семьи, находящихся на полном содержании работника или получающих от него помощь, которая является для них постоянным и основным источником средств к существованию) ;
в) лицам, в семье которых нет других работников с самостоятельным заработком;
г) работникам, получившим в данной организации трудовое увечье или профессиональное заболевание;
д) инвалидам Великой Отечественной войны и инвалидам боевых действий по защите Отечества;
е) работникам, повышающим свою квалификацию по направлению работодателя без отрыва от работы.

Вероятнее всего, вас интересует вопрос преимущественного права на оставление на работе при сокращении численности или штата работников?
При равной производительности труда и квалификации предпочтение в оставлении на работе отдается: семейным - при наличии двух или более иждивенцев (нетрудоспособных членов семьи, находящихся на полном содержании работника или получающих от него помощь, которая является для них постоянным и основным источником средств к существованию) ; лицам, в семье которых нет других работников с самостоятельным заработком; работникам, получившим в период работы у данного работодателя трудовое увечье или профессиональное заболевание; инвалидам Великой Отечественной войны и инвалидам боевых действий по защите Отечества; работникам, повышающим свою квалификацию по направлению работодателя без отрыва от работы.

По закону - нет... но в нашей стране возможно все!

В ответе URSUS "опечатка" - не могут. Ваш пункт "в".

это не законно

Только при полной ликвидации предприятия. По сокращению численности/штата - нет