У меня отпуск с 5 числа этого месяца. Могу ли я в ближайшие дни написать заявление на увольнение?

Заявление на увольнение лучше 5 числа написать, и сразу получить трудовую с датой последнего дня отпуска.

конечно, можете. Никто не отзовет. Многие так и пишут. А можете несколько дней в отпуске побыть, прийти и заявление написать.

Можете конечно. И ТК РФ так написано. Рекомендую ознакомится.

Если у вас отпуск по графику, то можете написать заявление о предоставлении отпуска с последующим увольнением (ст. 127 ТК РФ) . Предоставлять вам такой отпуск или отказать в вашей просьбе, принимает работодатель. Если работодатель согласен, то трудовые отношения с вами прекращаются со дня начала отпуска. Окончательный расчет с вами будет произведен до начала отпуска, а также будет выдана трудовая книжка, где будет указан день увольнения-последний день отпуска.
Если работодатель не согласен, тогда можете написать заявление об увольнение хоть сегодня, но не позднее 2-х недель до предполагаемой даты увольнения. Дату увольнения укажите последний день отпуска. Отказать в увольнении во время отпуска работодатель не вправе, т. к. принудительный труд запрещен Конституцией РФ. А запрет на увольнение во время болезни или во время отпуска (ст. 81 ТК РФ) относится только, если увольнение инициировано работодателем.
Отозвать из отпуска, без вашего согласия, работодатель не имеет права (ст. 125 ТК РФ)

ну если есть чем писать

Можешь написать перед отпуском и поставить дату увольнения первый день после отпуска, чтоб тебя рассчитали, оформили и передать дела (чтоб по человечески) . А можешь послать по почте заказным с уведомлением, а лучше ценным письмом. Обязательно опись вложения.