Если не пройду аттестацию, могут ли меня уволить? Какую запись делают в трудовой? Должны ли предложить другую вакансию?

Шумный кролик не права. Увольнение по основанию, предусмотренному п. 3 ч. 1 ст. 81 ТК РФ и, допускается, если невозможно перевести работника с его письменного согласия на другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу) , которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором.
Т. е. предлагать вам другую работу работодатель обязан и только если у него отсутствует другая работа или вы от неё откажитесь вас вправе уволить по п. 3 ч. 1 ст. 81 ТК РФ с записью в трудовой книжке: "Трудовой договор расторгнут по инициативе работодателя в связи с несоответствием работника выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации, пункт 3 части 1 статьи 81 Трудового Кодекса Российской Федерации".

Могут уволить в связи с несоответствием занимаемой должности. В трудовой именно так и напишут (ст. 81 п. 3 ). Другую позицию предлагать не обязаны, непрохождение аттестации является основанием для расторжения трудового договора.
Но большинство работодателей достаточно лояльно относится к переаттестациям и даёт работникам пересдавать, если надо. Единственное исключение, если аттестацию затеяли специально для того, чтобы найти повод Вас уволить.

Трудовой кодекс Российской Федерации предусматривает в качестве основания прекращения трудового договора по инициативе работодателя несоответствие работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации (п. 3 ч. 1 ст. 81 ТК РФ) .
При этом увольнение по указанному основанию допускается, если невозможно перевести работника с его письменного согласия на другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу) , которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. Также работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Предлагать вакансии в других местностях работодатель обязан, если это предусмотрено коллективным договором, соглашениями, трудовым договором.