что делать с трудовой книжкой?

Ну тут сплошные нарушения.
1. Запись в трудовую книжку вносится через 5 дней.
2. Если с Вами не заключён ученический договор, то удержания не законны.
3. На испытательном сроке работник может уволиться предупредив работодателя за 3 дня.
Если Вы оформлены официально, то можете написать заявление в ГИТ, требовать оплаты вынужденного прогула из за задержки ТК.
Поскольку стаж не большой, то можно подарить её директору на память (вредный совет) , на новом месте работы по Вашему заявлению заведут новую.
Но заявление всё таки напишите в ГИТ, что бы по рукам дали такому директору.

Трудовой кодекс РФ предусматривает возможность требовать с ученика
возмещения затрат, если он не выполняет обязательства по ученическому
договору, в том числе не приступает к работе (ч. 2 ст. 207 ТК РФ) .
Работник обязан возместить расходы работодателю в том числе и за то
время, которое он должен был отработать по окончании ученического
договора, если иное не предусмотрено данным договором (ст. 249 ТК РФ) .
Трудовой
кодекс РФ не содержит перечня расходов работодателя, связанных с
обучением или переобучением. Законодательно предусмотрен только возврат
стипендии, полученной во время ученичества. Сумма оплаты работ,
выполняемых на практических занятиях, а также заработная плата
работника, для которого установлено неполное рабочее время в связи с
обучением, не могут быть включены в расходы работодателя, подлежащие
возврату.
В соответствии с ч. 2 ст. 207 ТК РФ работодатель может
требовать возмещения сумм, затраченных на обучение ученика, только при
невыполнении последним обязанностей по ученическому договору без
уважительных причин после завершения обучения.

Они нарушают трудовой кодекс. В суд!