Проработал 1 год, не брал отгулы, могу ли просить компенсацию?!

Возможно Вы имели ввиду компенсацию за неиспользованный отпуск? Очередной основной отпуск составляет 28 календарных дней за него вы компенсацию получить не можете. Его необходимо отгулять. Если у вас также имеется дополнительный отпуск тогда смело можете получить компенсацию в денежном эквиваленте (в заявлении пишите - прошу Вас предоставить очередной основной отпуск в количестве 28 календарных дней с такого то числа. Дополнительный отпуск в количестве стольки то дней выплатить денежной компенсацией) и работайте дальше.

Отгулы тебе никто предоставлять не обязан. Так что в принципе непонятно, за что ты хочешь слупить денег.
Отпуск, который ты не использовал, ты можешь использовать. Выплачивать компенсацию за неиспользованный отпуск во время твоей работы по закону тебе тоже никто не обязан.
После увольнения всегда пожалуйста.

Вы наверно отпуск имеете в виду?
Нет, не можете заменить отпуск деньгами. Это запрещено.

Существует понятие - компенсации за неиспользованный отпуск, так это запрещено - надо отдыхать. А тут о чем речь?

Уточните вопрос: за что компенсацию?
Дополняю после комментария - только частично, свыше 28 дней. А на 28 дней вам обязаны предоставить очередной оплачиваемый отпуск.
Статья 126 ТК РФ. Замена ежегодного оплачиваемого отпуска денежной компенсацией: "Часть ежегодного оплачиваемого отпуска, превышающая 28 календарных дней, по письменному заявлению работника может быть заменена денежной компенсацией"